A dan B ye en kısa yolun iniş kısmının uzunluğunu bulunuz.

Question

Aşağıdaki (dik dairesel) koninin taban yarıçapı 20 ve yan kenar uzunluğu 60 birimdir. Bu koninin tabanının kenarındaki A noktasından (A yı tepeye birleştiren doğru üzerindeki) 10 birim uzaklıktaki B noktasına (koni etrafında bir kez dolanan) en kısa yol, önce B den yukarı çıkıp sonra aşağı iner. Bu yolun iniş kısmının uzunluğunu bulunuz.

(Soru, G. Kore de, 1997 de, üniversiteye girişte değerlendirmeye katılan test türü bir sınavda sorulmuş. Youtube da Presh Talwalker ' Mind your  Decisions' adlı bir kanalda böyle güzel sorular var)

Comments

Hocam, cevap $\dfrac{400}{\sqrt{91}}$ ise çözümümü yazacağım.

---

Cevabın o sayı  olup olmadığı önemli değil yine de yaz bence.

Answer 1

Koninin yan yüzey açınımını şekildeki gibi yapalım.

 

Koninin taban çevresi, açınımın $AA^\prime$ yayının uzunluğuna eşit olduğundan $AA^\prime$ yay uzunluğu $40\pi$ birim olur. $m(\widehat{AOA^\prime}) = \alpha$ (derece türünden) olsun. Yarıçapı $60$ birim olan tam çemberin çevresi $120 \pi$ birim olduğundan 

$$\dfrac{\alpha}{360^\circ} = \dfrac{40\pi }{120 \pi}$$

orantısını kurarız ve $\alpha = 120^\circ$ bulunur. $AOB$ üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa

$$|AB|^2 = 60^2 + 50^2 - 2\cdot 60 \cdot 50 \cdot \cos(120^\circ)$$  

olup $|AB| = 10\sqrt{91}$ birim bulunur. Bu mesafe koni yüzeyi üzerinde hareket etmek ve bir tur dolaşmak koşuluyla $A$ dan $B$ ye gidilebilecek en kısa mesafedir. Şimdi $O$ noktasından $AB$ ye $OD$ dikmesini inelim. $B$ noktasının bu dikmeye göre simetrisi $C$ olsun. $|OC|=50$ birimdir. $D$ noktası $[BC]$ nin orta noktası olduğundan ve simetriden dolayı $C$ den $B$ ye giderken inilen ve çıkılan mesafeler eşittir. O halde $A$ dan $D$ ye kadar tırmanma yapılırken, $D$ den $B$ ye kadar iniş yolu vardır. Önce $|OD|$ yüksekliğini ve sonra da $|DB|$ yolunu hesaplayarak problemi tamamlayabiliriz. Sinüslü alan bağıntısından

$$Alan(AOB) = \dfrac{1}{2}\cdot 50\cdot 60 \cdot \sin(120^\circ) = \dfrac{1}{2}\cdot 10\sqrt{91}\cdot |OD|$$

olup $|OD|= \dfrac{150\sqrt3}{\sqrt{91}}$ birim elde edilir. $OBD$ dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanırsa

$$|DB|^2 = 50^2 - \dfrac{67500}{91}$$

olup $|DB|=\dfrac{400}{\sqrt{91}}$ birim elde edilir.