Uzun cozum:
Bu fonksiyonun iki farkl kokunun olmasi icin Δ=(m+2)2>0
olmasi gerekli. Yani
m≠−2
olmasi gerekli.
Diyelim ki bu sart saglaniyor. O zaman iki farkli koku var. Bunlardan kucugune
a buyugune de
b diyelim.
Kokleri bildigimizden ve bas katsayi da
1 oldugundan
f(x)=(x−a)(x−b)
olarak yazabiliriz.
−1 ve
2 degerleri icin fonksiyonlari hesaplarsak verilen esitsizlik geregi
f(−1)=(−1−a)(−1−b)<0
ve
f(2)=(2−a)(2−b)>0
esitsizlikleri saglanir. Hatta bu esitsizliklerin saglanmasi da
a<−1<b<2 esitsizliginin saglanmasini gerektirir. Nasil?
Cevap:
(1)
f(−1)<0 demek
−1 iki kok arasinda demek...
(2)
f(2)>0 demek ya iki kok de
2den buyuk ya da ikisi de
2den kucuk demek..
Iki kok de 2den buyuk olamaz, olsaydi
−1 iki kok arasinda olamazdi demek ki iki kok de
2den kucuk olmali. Bu da bize
a<−1<b<2
esitsizligini verir.
O zaman sartlarimiz
f(−1)=−2m<0
ve
f(2)=m+3>0
olur. Bu da bize
m>0
olmasi gerektigini verir.
Kisa Cozum:
Δ=(m+2)2 oldugundan kokler
−m±|m+2|2=−m±(m+2)2={1,−m−1}
olur. Bi da bize
−m−1<−1 yani
m>0 olmasi gerektigini verir.
Daha kisa bir cozum: 1in bir kok oldugunu gorerek olabilir. Bu sekilde diger kokun −m−1 olmasi gerektigi de gozukur. Bir ustteki cozumden temelde bir farki yok.