3. dereceden fonksiyonların 2. türevinin özelliği ?

Question

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx +d = 0$

3. dereceden bir fonksiyon olmak üzere

$f'' = 6ax + 2b = 0 => x = \frac{-b}{3a}$

Eşitliğini elde ederiz. Aynı zamanda bu denklemin kökler toplamıda $\frac{-b}{a}$ dır.  Benim sormak istediğim herhangi bir 3. dereceden fonksiyon için eğer fonksiyonun 2. dereceden türevinin kökü varsa ( ya da dönüm noktası) onun bu denklemin kökleri toplamının $\frac{1}{3}$'ne her zaman için eşit olacağı çıkarılabilir mi ? Bu varsayım yanlışsa nedeni nedir ? 

Comments

Kompleks koklerin toplami dedigin gibi $-b/a$. Eger sadece gercel kokler ise genel olarak yanlis.

Bu cikarim tum kokler gercelse ya da $u,v$ gercel sayilari icin denklem $(x-u)(x^2+v^2)$ olarak yazilabiliyorsa dogrudur. 

---

Bunu $n$. dereceye $(n-1).$ tureve (3 degil de) $n$ olarak genisletebilirsin. 

---

Tüm kökler gerçel değilse neden yanlıştır ? Tam olarak neyi kastettiniz ?

---

Ornegin, $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$ polinomunu sifir yapan gercel degerlerin toplami nedir? $0$ mi, $1$ mi?

---

0 dır. Yani kastettiğiniz tüm köklerin toplaması gerektiği mi ?

---

Koker toplami -b/a derken, kompleks sayi olarak bu dogru olur. Gordugun uzere de gercelde her zaman dogru degil.

---

Anladım, teşekkür ederim.

Answer 1

$a_n\ne 0$ olmak uzere $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$ polinomunun kompleks koklerinin (kuvvet sayisinca toplami) $$-\frac{a_{n-1}}{a_n}$$ saglanir. 

Gercel ya da birden fazla kok icin oldugunu $$x^3-1 \ \ \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \ \  (x-1)^3$$ polinomunu inceleyerek gorebilirsiniz.

Bunun yani sira bu polinomun $x$ degiskenine bagli $(n-1)$. dereceden turevi $$n!a_nx+(n-1)!a_{n-1}$$ olur. Bu lineer polinomun sifirlayani ise $$-\frac{a_{n-1}}{a_n}\cdot \frac 1n$$ degeridir. 

Dolayisiyla, genel olarak, istenen oran $$n$$ olur. Sorudaki ozel durum ise $n=3$ durumudur.