trigonometrik özdeşlikler nasıl elde edildi ?

Question

Mesela neden  $$\begin{aligned}\sin \left( 90-\alpha \right) =\\ \cos \left( \alpha \right) \end{aligned}$$ ?

bir uzunluk '-' ile ifade edilemiyor iken neden bizler trigonometride negatif uzunluk kullanıyoruz ?

kendimce düşünerek veya internetten bir cevap bulamadım, cevaplarınız için şimdiden teşekkürler.

Comments

Negatif olarak alınan bir uzunluk için bir örnek yazabilir misiniz?

Birim çemberde bir açı ölçüsünün sinüsü, kosinüsü nasıl tanımlanıyor? Bunları biliyor musun?

---

Açı ölçüsünün sinüsünün oluşturduğu üçgenin karşı kenarının hipotenüse oranı olduğunu biliyorum ama neden cos(-a) = cos(a) dersen bir cevap veremem. Aynı örnekten yola çıkarak bir 'a' uzunluğunu '-' notasyonu ile nitelendirdik. Fiziksel bir uzunluk negatif olamaz hatta vektörler mutlak değer işareti ile gösterilir.

---

Birim çemberde $a$ bir açı ölçüsüdür. Ayrıca birim çemberde pozitif yön(ki saatin dönüş yönünün tersidir), negatif yön (saatin dönüş yönü) kavramları vardır. $-a$ 'nın "-" işareti negatif yönde ölçüm yapıldığını ifade eder. Birim çemberde pozitif yönde ölçüsü $a$ olan bir açı çizelim.Sonra neğatif yönde ölçüsü $a$ olan bir açı çizersek,bu açının ölçüsünü "-a" ile gösteriyoruz. Bu ölçüleri farklı iki açının birim çemberde kosinüslerinin eşit olduğunu görebilirsin. Bu sebeple, $cosa=cos(-a)$ dır.

Ancak aynı şeyi sinüs için söyleyemeyiz değil mi?

---

Peki neden (örneklerimi meb kitaplarından aldığımı farz edelim çünkü matematik kaynaklarım saçma sapan soru bankaları ve üniversiteye gitmiyorum) tanjant 4. bölgede negatiftir ? Neden birim çemberi 4 bölgeye ayırdıktan sonra x ekseninin altında kalan açılar bizi negatif trigonometrik uzunluklara götürür ? 

edit: Ayrıca az evvel a açısına uzunluk demiştim aslında o örnek sin(-a) = -sin(a) olacaktı ve de sin uzunluğu negatif olarak tanımlanacaktı. Yeniden düzenlemek adına gizlemiştim fakat gizli iken düzenleme yapılamıyor umarım ne demek istediğimi anlıyosunuzdur...

---

Sorduklarının tamamen, birim çember ve birim çemberde açı oluşturulması ile ilgilidir.Bence bu konuyu tekrar çalışman iyi olur.Buradaki negatifliği yön kavramı ile açıklıyoruz. Yoksa herhangi bir uzunluğun negatif olmayacağı kesin.

---

Burada ufak bir kafa karıştırıcı, trigonometrik fonksiyonlarin tanimlarini dar acılar için alıyor olmanız, sinüs aslında dik üçgende karşı bölü komşu değildir. (Bu eksik bir tanimdir ve geniş açılar için bize açıklama sunmaz) öte yandan $\sin \alpha$'yı birim çemberde $\alpha$ açısının yay bitimi noktasının y eksenindeki  koordinati (bileşeni) olarak düşünürseniz kafanızdaki sorulara daha kolay cevap bulabilirsiniz.