polinomlar ile ilgili bir soru

Question

Üçüncü dereceden gerçel katsayılı bir polinomun kökleri $2$ ve $2-i$ dir. Bu polinomun sabit terimi 10 olduğuna göre bu polinomun katsayıları toplamı kaçtır?

$p(x)= (x-2).(x-2+i).(ax+b)$ yapmayı düşündüm sonra $p(0)$ a eşitledim daha devam edemedim

Comments

Gercek katsayili bir polinomun gercel olmayan bir $z$ koku varsa $\bar z$ de koku olur. Bunu biliyor musun?

+ + + Lutfen sorularinizi yazarak sorunuz. Bu soru icin fotografa hic gerek bile yoktu. 

---

Hocam bu durum nasıl ispatlanabilir?

---

(1) $c\in \mathbb R$ ise $\bar c=c$ ve 
(2) $z,w\in \mathbb C$ ise $\overline{z\cdot w}=\bar z \cdot \bar w$ olur.

Bu bilgileri ispatladiktan sonra gercel katsayili bir polimon $P$ ve bir karmasik sayi $z$ icin 

$$P(\bar z)=\overline{P(z)}$$ oldugunu gosterebilirsin. 

Buradan $P(z)=0$ ancak ve ancak $P(\bar z)=0$ gelir.

---

Hocam eşleniğin terim anlamı tam olarak nedir?Köklü sayılarda ve karmaşık sayılarda karşılaştığımız bu ifade  ne anlama gelir diye bana sorsalar açıklayamam sadece örnekleyebilirim.Ayrıca yanlış yorumluyorsam kusura bakmayın siz her reel sayının eşleniğinin kendisine eşit olduğunu yazmışsınız.$\sqrt {2}-1$  reel sayısının eşleniği $\sqrt {2}+1$ iken bu iki değer nasıl birbirine eşit olabilir?

---

Aslinda $\sqrt{2}-1$ degerinin eslenigi $-\sqrt{2}-1$ cunku bu ikisini kok olarak iceren polinom rasyonel katsayili olur:

$$(x-(\sqrt2-1))(x-(-\sqrt2-1))=x^2+2x-1.$$

Senin verdigin eslenik ile $x$'in kat sayisi $\sqrt{2}$ icerir. Yani $\mathbb Q$ uzerinde bir polinom olmaz.

Galois cisimleri vs... Asil gelis yeri burasi..

Elinde $\mathbb R$  ve $\mathbb C=\mathbb R(i)$ genislemesi var. $\mathbb C$ cisiminin $\mathbb R$ cismini sabitleyen iki farkli otomorfizmasi var (yani $\mathbb C$'den $\mathbb C$'ye birebir ve orten sekilde giden ve carpma ile toplamaya saygi duyan bir fonksiyon). Bunlar$a,b\in\mathbb R$ icin $$\sigma_1(a+bi)=a+bi \ \ \ \ \ \text { ve } \ \ \ \ \ \sigma_2(a+bi)=a-bi.$$

Ayni sekilde $\mathbb Q$  ve $\mathbb Q(\sqrt 2-1)=\mathbb Q(\sqrt2)$ genislemesi var. $\mathbb Q(\sqrt 2)$ cisiminin $\mathbb Q$ cismini sabitleyen iki farkli otomorfizmasi var. Bunlar$a,b\in\mathbb Q$ icin $$\sigma_1(a+b\sqrt 2)=a+b\sqrt2 \ \ \ \ \ \text { ve } \ \ \ \ \ \sigma_2(a+b\sqrt2)=a-b\sqrt2.$$

Eslenik kavramlari genel olarak buradan geliyor.