Question

$x^3-x+7=0$ denkleminin kökleri $x_1,x_2,x_3$ olmak üzere $\sum_{n=1}^{3}[x_{n}^{3}]$ işleminin sonucu kaçtır?

Answer 1

  $ax^3+bx^2+cx+d=0$ denkleminin  kökleri $x_1,x_2,x_3$ iseler;

$$x_1+x_2+x_3=\frac{-b}a =0$$   

$$x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3=\frac{c}a=-1$$

$$x_1.x_2.x_3=\frac{-d}a=-7$$  dır . Diğer taraftan

$$A=\sum_{n=1}^3(x_n)^3=x_1^3+x_2^3+x_3^3$$ olsun

$$(x_1+x_2+x_3)^3=x_1^3+x_2^3+x_3^3+3x_1.x_2(x_1+x_2)+3x_1.x_3(x_1+x_3)+3x_2.x_3(x_2+x_3)+6x_1.x_2.x_3$$  olacaktır. Verilen denklemin yukarıda hesaplanan değerleri yerlerine yazılırsa

$$0=A+ 3x_1.x_2(-x_3)+3x_1.x_3(-x_2)+3x_2.x_3(-x_1)+6x_1.x_2.x_3$$

$$0=A- 3x_1.x_2.x_3$$  , $$A=3x_1.x_2.x_3 =3(-7)=-21$$  olur.