$f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2$ eşitliğini sağlayan tüm fonksiyonlarını bulunuz

Question

x,y reel sayı, f fonksiyonu reel sayılardan reel sayılara tanımlı. (Japonya)

Comments

Cok guzel bir soruya benziyor.

---

Evet, Salih bey sade, kolay anlaşılır ama çözümü uğraştırıcı gibi duruyor. ama burada güzel sorulara çok güzel cevaplar geliyor zaten

---

$f(x)=\mp x$ fonksiyonlarının ana denklemi sağladığı görülebiliyor. (Aşağıdaki yorumda bu belirtilmiş, şimdi farkettim.)

Answer 1

Soyle bir baslangic yapabiliriz. $x=0$ ile denklemi calistirirsak

$$f(0)=f(yf(0))$$ buluruz. Demek ki eger $f(0) \neq 0$ ise $f$ sabit bir fonksiyon olmalidir. Fakat bu durumda $y=0$ ile denklemi calistirirarak bir celiski elde edilir. Oyleyse $f(0)=0$ olmalidir. Devami nasil gelir bilemedim.

Comments

Hocam sanki f(0)=0 çıkıyor ve sizin dediğiniz gibi y=0 koyarsak sabit olmadığı görünüyor bende buna dayanarak f(x)=x ve f(x)=-x olabilir diye düşündüm ama kanıt yapamadım birde f(0)=0 doğru ise bir yaklaşım hatası yapmış da olabilirim, ama ortada yapabildiğim bir kanıt yok bir de başka bir çözümü olup olmadığına dair de bir kanıtım yok

---

sonrasında da iterasyon oluyor ama ben de sonunu getiremedim.