Öncelikle 0⟵Z⟵ϵX0⟵d1X1⟵d2X2⟵d3⋯dizisinin her terimde net olduğunu göstereceğiz. Şöyle bir numara çevireceğiz. di'lerin ve ϵ'nun ters yönünde E:Z⟶X0 ve Di:Xi⟶Xi+1homomorfizmalarınıE∘ϵ+d1∘D0=idX0(∗)veDr−1∘dr+dr+1∘Dr=idXr(∗∗)eşitliklerini sağlayacak ve Di'lerin görüntüsünde bütün (σ1,⋯,σi+1), i+1-çoklularının bulunacağı biçimde tanımlayacağız.
İddia: .Yukarıdaki gibi E ve Di homomorfizmalarının varlığı elimizdeki dizinin her noktada net olduğu sonucunu doğurur.
İspat: Diyelim ki yukarıdaki gibi E ve Di homomorfizmaları varolsun. Öncelikle X0'de netliği ispatlayacağız. Yani kerϵ)=im(d1) olduğunu göstereceğiz. x∈ker(ϵ) olsun. (∗) sayesinde x=E∘ϵ(x)+d1∘D0(x)=d1∘D0(x)eşitliğini elde ederiz ki bu x∈im(d1) demek. Öte yandan d1(σ)=σ−1 ve ϵ(σ−1)=1−1=0. Yani ker(ϵ)=im(d1) Geri kalan noktalardaki netliği göstermek için tümevarım yapacağız. Diyelim ki r≥1 için dr−1∘dr=0 olsun (burada r=1 olduğu durumda d0 olarak ϵ alıyoruz)Tümevarım hipotezimizi iki farklı şekilde ((∗∗) eşitliğini kullanarak) şu eşitlikleri elde ederiz:dr=(Dr−2∘dr−1+dr∘Dr−1)∘dr=dr∘Dr−1∘drvedr=dr∘(Dr−1∘dr+dr+1∘Dr)=dr∘Dr−1∘dr+dr∘dr+1∘Dr.Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkartırsak dr∘dr+1∘Dr=0 eşitliğini elde ederiz. Dr'nin görüntüsünde bütün (σ1,⋯,σr+1) biçimindeki elemanlar olduğu için en son eşitlik pratikte dr∘dr+1=0 demek. Yaniim(dr+1)⊆ker(dr).Şimdi diğer içerme ilişkisinin doğru olduğunu gösterelim. Bu taraf çok daha kısa. Yine (∗∗) eşitliğini kullancağız. Diyelim ki x∈kerdr (yani dr(x)=0) olsun. Dileğimiz x'in dr+1'in görüntüsünde olduğunu göstermek. (∗∗) eşitliğini dr(x)=0 bilgisiyle beraber kullanırsak şunu elde ederiz:x=idXr(x)=Dr−1∘dr(x)+dr+1∘Dr(x)=dr+1(Dr(x))∈im(dr+1) Sonuç olarak im(dr+1)=ker(dr)bulunur, bu da elimizdeki dizinin net olduğunu gösterir iddianın ispatı biter.◻
O halde, iddiayı kullanabilmek için sözü geçen E ve Dr homomorfizmalarını tanımlamalayız. Tanım:
-
E:Z⟶X0 homomorfizması 1⟼1 eşlemesini lineer olarak genişleterek;
-
D0:X0⟶X1 homomorfizması σ⟼σ eşlemesini lineer olarak genişleterek;
-
q≥1 için Dq:Xq⟶Xq+1 homomorfizmasını σ0(σ1,⋯,σr)⟼(σ0,σ1,⋯,σr) lineer olarak genişleterek
tanımlıyoruz.
İddia: E,Dr homomorfizmaları (∗) ve (∗∗) eşitliklerini sağlar.
İspat: Bunun için doğrudan hesap yapmak gerekiyor. Özel hiçbir yetenek gerekmiyor. Gösterelim. Dr−1∘dr+dr+1∘Dr'yi hesaplayacağız. Önce dr+1∘Dr parçasını hesaplayalım. dr+1∘Dr(σ0(σ1,⋯,σr))=dr+1(σ0,σ1,⋯,σr))=σ0(σ1,⋯,σr)+r∑i=1(−1)i(σ0,⋯,σi−2,σi−1σi,σi+1,⋯,σr)(i'inci parçaya Ai diyelim)+(−1)r+1(σ0,⋯,σr−1)(Bu parçaya da A diyelim)Şimdi de Dr−1∘dr parçasını hesaplayalım: Dr−1∘dr(σ0(σ1,⋯,σr))=Dr−1(σ0dr(σ1,⋯,σr))=Dr−1[σ0(σ1(σ2,⋯,σr)+r−1∑i=1(−1)i(σ1,⋯,σi−1,σiσi+1,σi+2,⋯,σr)+(−1)r(σ1,⋯,σr−1))]Birinci satırdaki eşitlik, dr'nin G-homomorfizması olması nedeniyle doğru. O sayede σ0 elemanı dr'nin dışına çıkıyor. Şimdi de Dr−1'i uygulayalım. Tanımı uygulayarak şu elemanı elde ederiz:(σ0σ1,σ2,⋯,σr)(Bu parçaya B1 diyelim)+r−1∑i=1(−1)i(σ0,⋯,σi−1,σiσi+1,σi+2,⋯,σr)(i'inci parçaya Bi+1 diyelim)+(−1)r(σ0,⋯,σr−1)(Bu parçaya da B diyelim) Dikkat edilirse Ai=−Bi ve A=−B eşitlikleri Elf gözlerden kaçmayacaktır. O halde iki ifadeyi toplarsak istediğimiz sonucu elde ettiğimiz görülebilir.
İşin yarısı bitti. Şimdi negatif indeksli terimlerden oluşan dizinin net olduğunu göstermeliyiz. Bunun için de bakınız diğer yanıt.