Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi
bir cevap ile ilgili: Tam serbest çözünüm nedir?
Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından  | 1k kez görüntülendi

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun onbeşincisi. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Öncelikle 0ZϵX0d1X1d2X2d3dizisinin her terimde net olduğunu göstereceğiz. Şöyle bir numara çevireceğiz. di'lerin ve ϵ'nun ters yönünde E:ZX0 ve Di:XiXi+1homomorfizmalarınıEϵ+d1D0=idX0()veDr1dr+dr+1Dr=idXr()eşitliklerini sağlayacak ve Di'lerin görüntüsünde bütün (σ1,,σi+1), i+1-çoklularının bulunacağı  biçimde tanımlayacağız.

İddia: .Yukarıdaki gibi E ve Di homomorfizmalarının varlığı elimizdeki dizinin her noktada net olduğu sonucunu doğurur.

İspat: Diyelim ki yukarıdaki gibi E ve Di homomorfizmaları varolsun. Öncelikle X0'de netliği ispatlayacağız. Yani kerϵ)=im(d1) olduğunu göstereceğiz. xker(ϵ) olsun. () sayesinde x=Eϵ(x)+d1D0(x)=d1D0(x)eşitliğini elde ederiz ki bu xim(d1) demek. Öte yandan d1(σ)=σ1 ve ϵ(σ1)=11=0. Yani ker(ϵ)=im(d1) Geri kalan noktalardaki netliği göstermek için tümevarım yapacağız. Diyelim ki r1 için dr1dr=0 olsun (burada r=1 olduğu durumda d0 olarak ϵ alıyoruz)Tümevarım hipotezimizi iki farklı şekilde (() eşitliğini kullanarak) şu eşitlikleri elde ederiz:dr=(Dr2dr1+drDr1)dr=drDr1drvedr=dr(Dr1dr+dr+1Dr)=drDr1dr+drdr+1Dr.Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkartırsak drdr+1Dr=0 eşitliğini elde ederiz. Dr'nin görüntüsünde bütün (σ1,,σr+1) biçimindeki elemanlar olduğu için en son eşitlik pratikte drdr+1=0 demek. Yaniim(dr+1)ker(dr).Şimdi diğer içerme ilişkisinin doğru olduğunu gösterelim. Bu taraf çok daha kısa. Yine () eşitliğini kullancağız. Diyelim ki xkerdr (yani dr(x)=0) olsun. Dileğimiz x'in dr+1'in görüntüsünde olduğunu göstermek. () eşitliğini dr(x)=0 bilgisiyle beraber kullanırsak şunu elde ederiz:x=idXr(x)=Dr1dr(x)+dr+1Dr(x)=dr+1(Dr(x))im(dr+1) Sonuç olarak im(dr+1)=ker(dr)bulunur, bu da elimizdeki dizinin net olduğunu gösterir iddianın ispatı biter.


O halde, iddiayı kullanabilmek için sözü geçen E ve Dr homomorfizmalarını tanımlamalayız. Tanım:

  1. E:ZX0 homomorfizması 11 eşlemesini lineer olarak genişleterek;
  2. D0:X0X1 homomorfizması σσ eşlemesini lineer olarak genişleterek;
  3. q1 için Dq:XqXq+1 homomorfizmasını σ0(σ1,,σr)(σ0,σ1,,σr) lineer olarak genişleterek
tanımlıyoruz.

İddia: E,Dr homomorfizmaları () ve () eşitliklerini sağlar.
İspat: Bunun için doğrudan hesap yapmak gerekiyor. Özel hiçbir yetenek gerekmiyor. Gösterelim. Dr1dr+dr+1Dr'yi hesaplayacağız. Önce dr+1Dr parçasını hesaplayalım. dr+1Dr(σ0(σ1,,σr))=dr+1(σ0,σ1,,σr))=σ0(σ1,,σr)+ri=1(1)i(σ0,,σi2,σi1σi,σi+1,,σr)(i'inci parçaya Ai diyelim)+(1)r+1(σ0,,σr1)(Bu parçaya da A diyelim)Şimdi de Dr1dr parçasını hesaplayalım: Dr1dr(σ0(σ1,,σr))=Dr1(σ0dr(σ1,,σr))=Dr1[σ0(σ1(σ2,,σr)+r1i=1(1)i(σ1,,σi1,σiσi+1,σi+2,,σr)+(1)r(σ1,,σr1))]Birinci satırdaki eşitlik, dr'nin G-homomorfizması olması nedeniyle doğru. O sayede σ0 elemanı dr'nin dışına çıkıyor. Şimdi de Dr1'i uygulayalım. Tanımı uygulayarak şu elemanı elde ederiz:(σ0σ1,σ2,,σr)(Bu parçaya B1 diyelim)+r1i=1(1)i(σ0,,σi1,σiσi+1,σi+2,,σr)(i'inci parçaya Bi+1 diyelim)+(1)r(σ0,,σr1)(Bu parçaya da B diyelim) Dikkat edilirse Ai=Bi ve A=B eşitlikleri Elf gözlerden kaçmayacaktır. O halde iki ifadeyi toplarsak istediğimiz sonucu elde ettiğimiz görülebilir.

İşin yarısı bitti. Şimdi negatif indeksli terimlerden oluşan dizinin net olduğunu göstermeliyiz. Bunun için de bakınız diğer yanıt.
(3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Şimdi de d3X3dr2X2d1X1μZ0() dizisinin her terimde net olduğunu göstereceğiz. Bunun için, bu dizinin, daha önce her terimde net olduğunu ispatladığımız 0ZϵX0d1X1d2X2d3() dizisini Hom(,Z) işlemiyle dualize edilerek elde edildiğini göstereceğiz. Bu diziyi, dediğimiz gibi dualize edersek şu yeni diziyi elde ederiz:0Hom(Z,Z)ϵHom(X0,Z)d1Hom(X1,Z)d2()Biz bu dizinin net olduğunu burası sayesinde biliyoruz. Xr grubumuz bildiğimiz üzere serbest bir Z[G]-modül (üreteçleri de Gr'nin elemanları). Bu üreteçleri {xi} ile gösterirsek, bu üreteçlere bağlı eşlenik baz (dual basis) xi'yi şu şekilde yazabiliriz:xi(σxk)=1 eğer σ=1 ve i=k ise ve diğer bütün durumlarda xi(σxk)=0. Doğal olarak bu eşlenik baz Hom(Xr,Z)'nin bir bazıdır. Bu da demektir ki xixi eşlemesi bize Hom(Xr,Z)Xr G-izomorfizmasını verir. Burada okuyucuya bırakalın kısım şudur: Yukarıda sözü edilen izomorfizma marifetiyle Xr1=Hom(Xr,Z)(q0)Z=Hom(Z,Z)yer değiştirmelerini yaparsak ()'teki dizi ()'deki diziye dönüşür. Sonuç da ()'teki dizinin netliğinden çıkar.


Standart çözünümün bir tam serbest çözünüm olduğunun ispatı, bir diğer yanıtla beraber neredeyse bitmiş durumda. d0=μϵ eşitliği gösterilmeli ancak bu tanımlardan hemencik çıkıyor ve bütün soruları çözmeye çalışan okuyucuya bırakılmıştır. Buna ek olarak ker(d0)=im(d1)veim(d0)=ker(d1)eşitliklerini de göstermek gerekli. Ama bu da okuyucuya bırakılmıştır. Zira çok kolay.

(3.7k puan) tarafından 

Destan yazılmış yine. Eline sağlık. Vakitlice bi okuyacam :)

sana göndereceğim dediğim yazıyı da göndereceğim de, türkçe'ye çevirmem gerek önce. ingilizce yazdım çünkü. aklımda o da yani, merak etme.

Bana ingilizcesini gönder ya :)

Yoook, asıl sana türkçe göndereceğim. Ben epsilon türkçe ne demek bilmiyorum diye yorumlar yazmayın siye artık :D

20,333 soru
21,889 cevap
73,623 yorum
3,046,440 kullanıcı