$(\frac{7}{p})=1 \Leftrightarrow p=1,3,9,19,25,27(mod28)$

Question

Burda

$(\frac{a}{p})$ Legendre sembolü ve anlamı da $x^2\equiv a(mod p)$ kongrüansının çözümü varsa $a$ ya quadratic residue denir ve sembol bu durumda 1 aksi halde -1 değerini alır..

çözüm içinse hiçbir fikir yürütemedim.. 

ama $(\Rightarrow)$ kısmına acaba $(\frac{7}{p})\equiv7^{\frac{p-1}{2}}(modp)$ ile başlasam bişeyler gelir mi dedim çünkü bu durumda $1\equiv7^{\frac{p-1}{2}}(modp )$ gelir bununla ilgilenmek sonuca götürebilir sanki..

Comments

http://mathworld.wolfram.com/QuadraticReciprocityTheorem.html

Bunu kullanmayi denedin mi?

Answer 1

$(\Rightarrow)$ $$(\frac{7}{p})=1\;\; \text{olsun}.$$

$(i)$ Eğer $$p \equiv 1 \mod 4 \;\; \text{ ise} \;\; (\frac{7}{p})=(\frac{p}{7})$$ $$1\equiv p^{\frac{7-1}{2}} \equiv p^3 \mod 7$$

$$p\equiv 1,2,3,4,5,6\;\; \text{sayarken}$$ $$p\equiv 1,2 \; \text{ veya} \;4 \mod7$$ olur.

$$p \equiv 1\;\; \mod 4 \; \text{ve} \; p\equiv 1,2 \; \text{veya} \; 4 \mod7 \;\;\; \text{olduğundan}$$     $$p\equiv 1,9 \; \text{veya} \; 25\;\;\mod28$$

$(ii)$ Eğer $$p \equiv 3\;\; \mod 4 \;\; \text{ise} \;\;(\frac{7}{p})=-(\frac{p}{7})$$   $$-1\equiv p^{\frac{7-1}{2}} \equiv p^3 \; \mod 7$$   $$p\equiv 3,5 veya 6 (mod7 \;\; \text{ve} \;\;p \equiv 3 \mod 4 \;\; \text{olduğundan}$$    $$p\equiv 3, 19veya 27 \mod28$$

$$(\frac{7}{p})=1\;\; \text{ ise} \;\; p\equiv 1,3,9,19,25 \;\text{veya} \; 27 \mod28$$   elde edilir.

$(\Leftarrow)$  $$p\equiv 1,3,9,19,25 \;\text{veya} 27 \;\; \mod28 \;\; \text{ olsun}$$

$$(\frac{7}{p})\;\; \text{ tanımı gereği p tek asal.}$$

$(i)$Eğer $$p\equiv 3, 19 \; \text{veya}\;27 \;\mod28 \;\; \text{ise}$$ $$p \equiv 3 \;\; \mod 4 \;\text{,} \;p\equiv 3, 19\; \text{veya} \; 27 \;\; \mod7 \;\; \text{için}\;\; (\frac{7}{p})=-(\frac{p}{7})$$  

$$p\equiv 3, 19 \;\text{veya}\; 27 \; \;\mod7 \Rightarrow p\equiv 3, 5\; \text{veya} \;6 \;\; \mod7$$  

$$(\frac{p}{7})=(\frac{3}{7}),(\frac{5}{7}) \; \text{veya} \; (\frac{6}{7})$$

$$(\frac{3}{7})=-(\frac{7}{3})=-(\frac{1}{3})=-1$$

$$(\frac{5}{7})=(\frac{7}{5})=(\frac{2}{5})=-1$$

$$(\frac{6}{7})=(\frac{3}{7})(\frac{2}{7})=(-1)(1)=-1$$

O halde 

$$(\frac{7}{p})=-(\frac{p}{7})=1$$

$(ii)$  $$p\equiv 1, 9\;\text{veya}\; 25 \;\;\mod28 \;\; \text{ise} \;\;p \equiv 1\;\; \mod 4$$ , $$p\equiv 1, 9\;\text{veya}\; 25\;\; \mod7\;\;\text{için}\;\;(\frac{7}{p})=(\frac{p}{7})$$

$$p\equiv 1, 9\;\text{veya} \; 25 \;\;\mod7 \Rightarrow p\equiv 1, 2\;\text{veya}\; 4 \;\;\mod7$$  

$$(\frac{p}{7})=(\frac{1}{7}),(\frac{2}{7})\;\text{ veya}\; (\frac{4}{7})\;\;\text{=}\;\;1$$

$$(\frac{7}{p})=(\frac{p}{7})=1$$

$$p\equiv 1,3,9,19,25\;\text{veya}\; 27\;\;\mod28 \;\;\text{ise} (\frac{7}{p})=1$$ elde edilir.

Comments

Ah bir de duzguncene yazsan $\LaTeX$i de okusak... Video serisinin ilkinde bunlardan bahsettik. :)

$ ... $  arasinda matematiksel ifadeleri tek tek almak gerekli... Eger araya yazi yazacaksak 

\text{  ya da } gibi kullanilmali..

ekstra bosluk icin sunlar kullanilabilir: 

\quad \; \: 


Ornek $$ x=5 \;\;\; \text{ ya da } \;\;\; x=7 $$ yazarsak $$x=5 \;\;\; \text{ ya da } \;\;\; x=7$$ seklinde gozukur.

---

Bunlari da anlatacagim :)

---

\mod  $$x\equiv 1 \mod 7$$ icin x\equiv 1 \mod 7 yazmaliyiz. 

---

peki hocam :D derslerinizi aksatmamayı umuyorum bundan sonra :)

---

galiba daha iyi oldu :)

---

Evet, daha okunakli oldu. Tesekkurler.

---

Parantez içinde mod yazmak için de "a\equiv b\pmod{q}" yazabiliriz, dolar işaretleri arasında $a\equiv b\pmod{q}$ olarak görünüyor.