$x$ ve $y$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere $x^3+y^3+\dfrac{1}{27}=xy$ ise...

Question

$x^3+y^3+(1/27)=x.y$ ise $x+y$ kactir? $x$ ve $y$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere...

Comments

Merhaba Matsel23, Matkafasi'na hoş geldin. Sitede soru sorarken dikkat edilmesi gereken pek çok kural var. Bunlardan en önemlilerinden birisi, soru soran kişinin yazdığı soru hakkında kendi denemelerini ve düşündüklerini yazması kuralı. Bu kuralın pek çok nedeni var. Bu konuda lütfen şuradaki yorumu okuyun. Genel kurallar hakkında da lütfen şuraya bakınız. 

Önemli anımsatma: Genel olarak kurallara uygun sorulmuş sorular yanıt bulmakta.

---

Ben carpanlarina ayirmaA denedim olmadi...daha sinra aritmetik ortalama buyuk esit geimetrik ortlama denedim aritmetik ortlama buyuk esit harmaonik ortlama denedim bir sey bulamadim

Answer 1

Aritmetik ortalama büyük eşit geometrik ortalama uygulanırsa, eşitlik durumunun sadece $x^3 = y^3 = 1/27$  için sağlandığı görülür. Bu durumda $x=y=1/3$  tek çözümdür.

Comments

Boyle olur mu bende onu dusundum ogrenciye boyle anlailmaz reel cozum olmali bende biliyorum x=y=1/3 un sagladugini ayrica aritmetik ortalama buyuk esit geo ortalamadan bit reel cozum gelmiyir

---

Anlayamadım hocam. Reel çözüm gelmiyor derken ?

---

$x=\dfrac{1}{3}$ ve $y=\dfrac{-2}{3}$ de denklemi sağlıyor. A.O -G.O pozitif gerçel sayılar için olduğu için bu kökler gelmedi sanırım.

Answer 2

Soruyu birazcık düzenleyelim $x,y\in\mathbb{R}^+$ olarak... ifadeyi yazalım $x^3+y^3+\dfrac{1}{27}=xy$ her iki tarafi $3$'e bolersek $\dfrac{x^3+y^3+\frac{1}{27}}{3}=\sqrt[3]{x^3\cdot y^3\cdot\dfrac{1}{27}}=\dfrac{xy}{3}$ oldugunu, yani bu sayıların aritmetik ortalamasıyla geometrik ortalamasının eşit olduğunu görüyoruz.O zaman bu ifade minimum değerinde. Minimum olduğuna varmamız $A.O\geq G.O$ dan. Bu durum da $x^3=y^3=\dfrac{1}{27}$  olduğunda saglanıyor. Ama bu cozum pozitif gercel sayilar icin gecerli. Bir adet negatif cozumu de var. Onun hakkinda bir fikrim yok, umarim bir hocam o konuyu da aydinlatir.

Comments

Bulunan $(\frac13,\frac13)$ çözümü dışında, $x+y=-\frac13$ doğrusu üzerindeki tüm noktalar bu denklemi sağlıyor, göstermesi çok kolay. İlginç.