Simetrik mutlak değerli denklemlerde $x_0$ bir kök ise $-x_0$ de bir köktür, ispatlayınız....

Question

Merhabalar,

$\text{Teorem}$  $$|x-a|+|x-b|+|x-c|+\cdots+|x+c|+|x+b|+|x+a|=c$$ $c$ sabit. Şeklindeki simetrik denklemlerde eğer $x_0$ bir çözüm ise $-x_0$ da bir çözümdür. 

$\text{İlginç Örnek (çok da değil gerçi)}$

$|x-10|+|x-9|+\cdots+|x+9|+|x+10|=c$ denkleminin tek kökü vardır. Buna göre $c$ sabitini bulunuz. 

$\text{Çözüm}$

Eğer $x_0$ bir kök ise $-x_0$ da bir köktür. Ve eğer tek kök varsa $x_0=-x_0$ buradan $2x_0=0\implies x_0=0$ olmalıdır. Buna göre mutlak değerli ifadeleri açarsak $$(10+9+8+7+6+5+\cdots+1+0)+(0+1+2+\cdots+8+9+10)$$ $$=2\dfrac{10\cdot11}{2}=110=c$$ bulunur. 

**)Teoremi ispatlayınız (**

Comments

Burada bir yazi yazmistim. Daha iyi bir hale getirecegim ama senin bircok soruna cevap verebilir. 

---

Teoremin ispati: $$|-x-a|+|-x+a|=|x+a|+|x-a|=|x-a|+|x+a|$$ oldugundan fonksiyon cift fonksiyondur.

---

Yazınız ilaç gibi geldi. Teşekkür ederim:)

---

Bu durumun, her çift fonksiyon ve her tek fonksiyon için doğru olduğunu göstermek daha kolay olur.

Answer 1

Egimlerin sirasiyla $-21$ ile baslayip her kok uzerinden atladiginda $2$ arttigini gormek zor degil. Dolaysiyla minimum degerini solunda $-1$ ve saginda $+1$ egimi olan kokte yani $0$'da alir. Kollar asagiya gidip yukariya yukseliyor ve limitler sonsuza gidiyor. Dolayisiyla diger her deger icin tam olarak iki kok var. Bu kokler sifira gore simetrik.