$23x+11y=4$ denklemini veren $(x,y)$ tamsayılarının toplamı?

Question

Merhabalar,

$23x+11y=4$ denklemini sağlayan $(x,y)$ tamsayı ikilileri için $x+y$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$A)-10,\quad B)-8,\quad C)-4,\quad D)4,\quad E)8$

Ben bu soruyu çözerken şöyle düşündüm, bu denklemi $4$ modülüne alırsam $$23x+11y\equiv 3x+3y\equiv 0 \pmod{4}$$ ve buradan $3(x+y)=4k,k\in\mathbb{Z}$ ise $(4,3)=1$ olduğu için $(x+y)=4k$ olur. Bu sorudaki şıklardan birden fazlasının doğru olduğu anlamına gelir, Wolframa girdiğim zaman da $11n+4$ ve $-23n-11$ sonucunu aldım ve mesela $n=-1$ için $x+y=8$ olabiliyor. Cevap $4$'müş (en azından cevap anahtarına göre)

Bu neden böyle?

Kaçırdığım bir şey mı var, ya da soruda $4$ elde edilmesi için daha fazla mı bilgiye ihtiyaç var?

Comments

Mod sana blr kümede olduğunu söyler, kümenin tümümdeki değerleri alabileceğini söylemez. Bir tam sayı için düşünebilirsin ya da bir polinom.

---

Wolframda yanlış hesaplamışsın galiba. Bir çözüm bulmalısın. Zeten -11t ve +23t ekleme sebebi bariz, sıfır yapıyor denklemde... ve tüm çözümleri de veriyor.

---

Linke tıkladım -11 yazdığın yerde -8 var.

---

A evet soruda yanlış yazmışım $11n+4$ ve $-23n-8$ olur. Ama bunları toplar ve $-12n-4$ de $n=-1$ yazarsak $8$ de çıkıyor. Evet kümenin tümündeki değerleri alamaz ama yalnızca bir değer alabileceği yargısına nereden varabiliriz hocam?

---

Bir değer değil sonsuz tane alıyor. Bulduğumuz tüm sonuçlar gereği x+y=-4+12(-n)... Yani toplam aslında mod 12'de 8'e denk olanlar olabilir. Bu da 4e bölünenler kümesinin içinde. Cevaplarda hem -4 hem de 8 var, iki cevaplı soru...

---

Şıkları bunu düşünmeden yazmışlar. Teşekkür ederim hocam:)

Answer 1

Verilen ifade bir dogru denklemi ve cozumu

$$(at+b, ct+d)$$ cinsinden olmali ve egim geregi  (ya da basitcene $x$'i ya da $y$'yi cekerek)  $$a=-11\;\;\;\text{ ve } c=-23$$ secebiliriz; yani $$(-11t+b,23t+d)$$ olacak sekilde bir  $$23b+11d=4$$ denklemini saglayan bir $(b,d)$ ikilisi bulmaliyiz. Bunun icin Ters Oklit Algoritmasi var. $23$ ile $11$ arasinda asal oldugundan oyle $s,t\in \mathbb Z$ vardir ki $$23s+11t=1$$ olur (Bu $s$ ve $t$ degerleri teorik olarak var, hem de algoritmik olarak da Ters Oklit Algoritmasi ile bulunabiliyor) ve bunu $4$ ile carparsak  $$23(4s)+11(4t)=4$$ olacak sekilde degerleri bulabiliriz.

 Tabi elle deneyerek de bulunabilir. Ben ustteki islemlere su an girmemek icin (mantigini bilmek ve bilgisayara program olarak girmek yeterli aslinda...) sadece cevaptaki gibi $$23\cdot 4+11\cdot(-8)=4$$ oldugu bilgisini kullanacagim. Bu da bize dogrumuzdaki noktalarin $$\{(-11t+4,23t-8) \; | \: t \in \mathbb R\}$$ oldugunu verir.

Eger $x$, $y$ tam sayi olsun istersek (yine aralarinda asallik geregi) $t \in \mathbb Z$ olmali. Dolayisiyla bu sarti saglayan noktalarin kumesi $$\{(-11t+4,23t-8) \; | \: t \in \mathbb Z\}$$ olur.