Modüler aritmetikte kesirlerin payına ya da paydasına sayı ekleme mantığı nedir?

Question

$8x\equiv 14\pmod{15}$ 

$8x=14+15p$

$8x-14\equiv 0\pmod{15}$

$(8x-14)/15 = 0 , x=7/4$ ve buradan sonra üst taraf 4’e bölünene kadar 15 eklememizin mantığı nedir?

Answer 1

Asli su sekilde $$4x\equiv 7 \mod 15.$$ Bu aslinda  $$4x\equiv 22 \mod 15$$   olarak da yazilabilir. Temel sebebi $$15 \equiv 0 \mod 15$$ olmasi. Buradan su sekilde de devam edebilriz. $2$ ile $15$ arasinda asal oldugundan sadelestirme yapabiliriz  $$2x\equiv11 \mod 15$$ ya da $$2x\equiv 26\mod 15$$ olur ve ayni sekilde $$x\equiv 13 \mod 15$$ olur.
_______________________________

Senin yonteminde de sunu yapiyorlar: $$4x\equiv 7 \mod 15$$ denkliginde sag tarafi bildigimiz tam sayilarda $4$'un kati yapmaya calisiyorlar. E haliyle sonunda $$4x\equiv 4a  \mod 15$$ gibi bir denklik elde ediyoruz. Buradan da $4$ ile $15$ aralarinda asal oldugundan $$x\equiv a \mod 15$$ diyoruz. Simdi $$7+15+15+15=52=4\cdot 13$$ oldugundan $a$ dedigimiz aslinda $13$.

______________________________

Benim onerim $x$'in kat sayisinin tersini bulman. Burada $x$'in kat sayisi $4$ ve $$4\cdot 4 \equiv 1 \mod 15.$$ Bu da bize denkligi $4$ ile carparsak $x$'i yalniz birakabilecegimizi soyler. 

Bunu uygulayalim $$x\equiv 4\cdot 7 \equiv 13 \mod 15$$ olur. 

Kucuk sayilarda tersin ne olmasi gerektigini gormek zor degil. 

Answer 2

Aslında aklına şu sorular gelmesi lazım.

                                                             $4x \equiv 3 (mod 7)$

Denkliğinin kaç tane çözümü var ? Hep $7$ nin katlarını ekliyorsun. Yani $\dfrac {3 + 7.3} {4} = 6$ bu denkliğin çözümlerinden biri diyorsun. Nerden biliyorsun eklemeye devam ettikçe başka bir tamsayıya ulaşacaksın ? Öncelikle bunun üzerine çalışalım. $mod 7$  de bir çarpım tablosu yapalım.

              

Şimdi $4x\equiv3$ olacak biçimde $x$ ler arıyalım. $4.$ satıra bakacağız ve $3$ i arayacağız. Karşısındaki sütun bizim cevabımız olacak. Görüldüğü gibi $4.6 \equiv 3$ olur. $4$ ile $7$ aralarında asal olduğundan mutlaka o satırda belirebilecek tüm kalanlar belirecektir (?!) Buna göre her satırda her kalan 1 kez belirir. Dolayısıyla

                                                               $4x \equiv 3 (mod 7)$

Denkliğinin sadece 1 tane çözümü vardır. Şöyle diyebiliriz. aslında. $3/4$ sayının $mod7$ deki değerini bulmak için $4.$ satırda $3$ kalanını ararız ve karşısındaki sütuna bakarız. O bizim cevabımızdır. Bu tamsayı çıkacağı için paya belli bir sayıda $7$ eklediğin zaman $3+7k$ sayısı $4$ ile bölünecek ve cevap $6$ çıkacak. Fakat farklı durumlar olabilir. Mesela

                                                               $4x \equiv 2 (mod 6)$

Denkliğinin çözümlerine bakalım. Yine tablo oluşturalım.

 Bu sefer $2/4$ ifadesini arıyoruz. Yani $4.$ satırda $2$ yi bulacağız. Ne sihir ne hikmettir ki $4.$ satırda $2$ sayısından $2$ tane var. Demek ki denkliğin 2 tane çözümü var . Bu çözümler $2$ ve $5$ dir.

Bunlar tamsayı olduğundan mutlaka $2+6k/4$ ifadesi $2$ ve $5$ tamsayılarına eşit olacak biçimde $k$ lar bulabilirsin.