Ardışık tek sayılarla kombinasyon

Question

$C(10,1)^2$+$C(10,3)^2$+$C(10,5)^2$+$C(10,7)^2$+$C(10,9)^2$=$?$

Öncelikle $2^{10.2}$ olur. 

Tek sayılar verildiği için sadece 2 ye böldüm ve $2^{19}$ buldum bilmem doğru mu?

Comments

$(1+x)^{10}.(1+x)^{10} = (1+x)^{20}$ eşitliğini göz önüne alarak katsayı incelemesi yapalım.

$(\dbinom {10} {0} +\dbinom {10} {1} x +\dbinom {10} {2}x^2 + ... + x^{10})(\dbinom {10} {0} +\dbinom {10} {1} x +\dbinom {10} {2}x^2 + ... + x^{10})$

$x^{10}$ un lazım olan katsayılarını alırsak

$\dbinom {10} {1}\dbinom {10} {9}x^{10} + \dbinom {10} {3}\dbinom {10} {7}x^{10} + ... + \dbinom {10} {9}\dbinom {10} {1}x^{10}$

Yani

$\dbinom {10} {1}\dbinom {10} {1}x^{10} + \dbinom {10} {3}\dbinom {10} {3}x^{10} + ... + \dbinom {10} {9}\dbinom {10} {9}x^{10}$

olacaktır. Devamı ?

Answer 1

Cevapsız kalmasın diye $$(1+x)^{10}=\dbinom{10}{0}x^0+\dbinom{10}{1}x^1+\dbinom{10}{2}x^2+\cdots+\dbinom{10}{10}x^{10}\\(x+1)^{10}=\dbinom{10}{0}x^{10}+\dbinom{10}{1}x^9+\dbinom{10}{2}x^8+\cdots+\dbinom{10}{10}x^0$$ Bunları çarptığımız zaman aradığımız toplamın $$\dbinom{10}{1}\dbinom{10}{1}x^{9+1}+\dbinom{10}{3}\dbinom{10}{3}x^{7+3}+\cdots+\dbinom{10}{9}\dbinom{10}{9}x^{1+9}$$ olduğunu yani $(x+1)^{20}$ açılımında $x^{10}$'lu terimin katsayısı olduğu aşikardır, yalnız burada $x^{10}$'un yalnızca tek katsayılarının alındığını da göz önünde bulundurmak lazım, o halde istenen toplam $\dfrac{\dbinom{20}{10}}{2}$'dir.