$-3 <x <2$ ve $-2<y <3$ olduğuna göre $x^{2} + y^{2}+ xy$ kaç farklı tamsayı değeri alır?

Question

$(-3) <x <2$  ve  $(-2)<x <3$ olduğuna göre $(x^{2}) + (y^{2}) + xy$ kaç farklı tamsayı değeri alır?

$x^2$,$y^2$ ve $xy$ nin aralıklarını ayrı ayrı bulup toplayayım dedim. $x^2$ ve $y^2$ de sorun yok, çünkü bunlar birbirinden bağımsızlar. Ama $xy$'yi onlardan ayrı bulmak yanlış olur, çünkü önceki bulduğumuz değerlere bağlı gelir $xy$. Bir de $(x^{2}) + (y^{2}) + xy$ ifadesini $xy$'ye bölüp çarpmayı denedim. Ordan da $[(\frac{x}{y})+(\frac{y}{x})+1)].xy$ buldum, ordan da birşeyler geldi ama devamı gelmedi. Ben öğretmenim ve öğrencilerden biri sordu bu soruyu

Comments

Merhaba, sitede soru sorarken dikkat edilmesi gereken pek çok kural var. Bunlardan en önemlilerinden birisi, soru soran kişinin yazdığı soru hakkında kendi denemelerini ve düşündüklerini yazması kuralı. Bu kuralın pek çok nedeni var. Bu konuda lütfen şuradaki yorumu okuyun. Genel kurallar hakkında da lütfen şuraya bakınız.

Önemli anımsatma: Genel olarak kurallara uygun sorulmuş sorular yanıt bulmakta.

---

Merhaba hocam, $(x+y)^2-xy$ daha hızlı ve doğru bir sonuç verebilir. Bu şekilde ikisini de birbirine bağımlı hale getirip $xy$ yi de bunlarla aynı bağlamda düşünmüş olduk. (Yanılmıyorsam)

---

<p> Soruda iki aralik için de $x$ demişsiniz ben 2. için $y$ diyeceğim soru düşünülürse problem yaratmaz büyük ihtimalle. $-5&lt;(x+y)&lt;5$ ve $0&lt;(x+y)^2&lt;25$ elde ettik buradan $xy$ aralığını çıkaralım; $-9&lt;xy&lt;6$  $-$ ile ifade çarpılırsa $-6&lt;-xy&lt;9$ oldu $$0-6&lt;(x+y)^2-xy&lt;34$$ ortadakilerde uzatmadan $A$ diyorum $$-6&lt;A&lt;34$$ $34+6-1=39$ tamsayı değeri alır. 
</p>

---

<p> Sercan hocam, teşekkür ediyorum düzeltmeniz için. Şöyle latex diline bir göz attım da, pek anlaşılmayacak bir yanı yokmuş. İnşaallah dikkat ederim artık
</p>

---

$(x+y)^2$ aralığını bulduktan sonra tekrar $xy$ aralığı bulmak doğru olur mu ki? Çünkü  $x+y$ ifadesini maksimum yapan değerlerde, $xy$ düşündüğümüz gibi gelmez zannediyorum. Misalen $(x+y)^2$ ifadesini 24 yapan $(x,y)$ ikilisi $-x.y$ ifadesini 8 yapacak mı aralığımızdaki 32 sonucunu bulalım?

---

$(x+y)^2$'deki $x$ ve $y$ ile $-xy$'deki $x$ ve $y$ ayni olmali topla cikart yapabilelim.

Ornegin; $$-3<x<2$$ $$-2<-x<3$$ bize $$-5<x-x<5$$ oldugunu verir. Fakat $x-x$ sadece $0$ degerini alir.

---

ikinci x yanlış yazılmıştı, düzeltildi y yapıldı.

---

Buna dikkat etmemişim hocam haklısınız $y$ aralığının $-x$ aralığı ile aynı olduğu dikkatimi çekti ama bu soruyu ona göre çözersek yalnız bir tamsayı değeri alıyor o da $0$. Nasıl bir yol izlemeliyiz?

---

$(1,1)$ verince $3$ de aliyor.

Istersen max/min teoremini uygula. Tek kritik noktasi $(0,0)$...

Istersen $y=a$ sabit gibi dusunerek $$x^2+ax+a^2=(x+a/2)^2+3a^2/4$$ parabollerini incele.

---

Yani $(x+y/2)^2+3y^2/4$ aralığı için $3y^2/4$ de sorun çıkarmaz gibi mi düşünmeliyiz?

---

$y$'yi sabit dusunursen o sabit icin elinde bir tane parabol olur. Tepe noktasinda mininum degeri aliyor. Biz zaten bunun sifir oldugunu biliyoruz. Bizim ihtiyacimiz maksimumu bulmak... Bunun icin de uc noktalara bakmamiz gerekli. Uc noktalar da $-3$'e $2$. Uc noktalarin maksimumlar kumesindeki maksimum eleman bizim maksimumumuz olur. Bu da yine parabollerden bulunuyor.

---

Bu maksimum eleman $x=-3$ (dahil değil) için sağlanıyor değil mi hocam? Sonra da altindakiler alınıyor. Bu cevap dursun mu burada? Sileyim mı?

---

Kalmali bence, yorumlar acisindan... Icerigi duzenleyebilirsin. Tabi uc noktalar dahil olmadigindan en son $\ge$ degil de $<$ elde edecegiz. (maksimum yerine supremum da diyebiliriz ama bilinmiyorsa burada sadece kafa karisikligi gibi olur).

Answer 1

Önceki çözümdeki işlem hatasını düzeltip biraz da kısalttım.

$x^2+y^2+xy=(x+\frac y2)^2+\frac34y^2$ olduğuna göre minimum değerin ($x=y=0$ da elde edilen) 0 olduğunu görüyoruz . Maksimumu türevsiz bulacağız. 

Verilen bölge, köşeleri $(-3,-2),\ (-3,3),\ (2,-2),\ (2,3)$ de olan bir karedir. 

 Bu köşelerde $x^2+y^2+xy$ nin en büyük değerinin (iki köşede) $19$ olduğunu görüyoruz.

(Karenin diğer köşelerinde $x^2+y^2+xy<19$ olduğundan)  karemizin iki köşesi $x^2+y^2+xy=19$ elipsi içinde, iki köşesi  elips üzerindedir. Yani karenin iç noktalarında $x^2+y^2+xy<19$ olur.  karenin köşeleri bölgede olmadığından (ve kare tek parça(=bağlantılı) olduğundan),

 $x^2+y^2+xy$ fonksiyonu, bu karede $[0,19)$ aralığındaki her değeri (ve sadece bu aralıktaki değerleri) alır. Bu aralıkta 19 tane tamsayı vardır.

$x^2+y^2+xy=c \ (c>0)$ eğrileri elips olup içi konveksdir. Kare (içiyle beraber) de konveks çokgendir. Bir konveks çokgenin tüm köşeleri bir konveks küme içinde kalıyor ise, çokgenin tamamı o konveks küme içinde kalır. Yapılan işlem dört köşeyi de elips üzerinde veya içinde bırakan en küçük  $c$ değerini bulmaktır.