Question

$\mathbb{Q}$ rasyonel sayilar cismi olmak uzere $\mathbb {Q}[x]/ (x^2 + 3) \cong \mathbb {Q}(  \sqrt3 i )$ oldugunu gosteriniz.

Comments

$f: \mathbb{Q}[x] \to \mathbb{Q}(\sqrt{3}i)$ fonksiyonunu soyle tanimla: $p(x) \mapsto p(\sqrt{3}i)$. Bunun bir halka homomorfizmasi olduguna ikna ol. Daha sonra bu homomorfizmanin cekirdeginin ne oldugunu bul.

Bunun disinda bu insayi anlamak gercekten onemli. $x^2 + 3$ ile gerilen ideale bolmek demek, bolum halkasinda $x^2 + 3$'u sifir olarak gormek demek. Yani, bolum halkasinda $x^2$'nin $-3$ olmasi demek. Elinde rasyonel sayilar, ve karesi $-3$ olan bir eleman ve bunlarin lineer kombinasyonlari var yani.