i≠0 oldugundan i ya da −i
elemanlarindan biri
P de olmali.
P carmaya gore kapali, hangisinin
P de oldugunu bilmesek de (istenirse iki durumda incelenebilir)
i⋅i=(−i)⋅(−i)=−1
oldugundan
−1 kesinlikle
P kumesinde olmak zorunda.
Bir not olarak
−x demek
x elemaninin toplamaya gore tersi demek. Bunun, karmasik sayilardaki bilinen aritmetik icin,
−x=(−1)⋅x
oldugunu gostermek zor degil. Bu da tum olayi bitirir.
Herhangi bir sifir olmayan
x eger
P kumesinde ise
−1 de
P kumesinde oldugundan
−x=(−1)⋅x
de
P kumesinde olur; cunku
P carpmaya gore kapali.
Bizden istenen P kumesinin ozelligi bunlardan tam olarak birinin kume icerisinde olmasiydi.
Tum kumeye gitmeden sadece −1 ve 1 ile de ilgilenebiliriz: −1 ve −1 elemanlari P kumesinde oldugundan (−1)⋅(−1)=1
elemani da
P de olur. Bu da bize hem
1'in hem de
−1'in
P de olmasi gerektigini verir.