Processing math: 13%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
2.9k kez görüntülendi

Her n3 için an=Aan1+Ban2 (A,B sabitler) koşulunu sağlayan bir diziden oluşturulan 

n=1anxn1 kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapının pozitif olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (6.3k puan) tarafından  | 2.9k kez görüntülendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

r=max olsun.  r\geq1 olup, her n\geq2 için |a_n|\leq r^{n-1} olduğu tümevarımla  gösterilir. 

(Tümevarım adımının özeti: |a_{n+1}|\leq |A|r^{n-1}+|B|r^{n-2}\leq (|A|+|B|)r^{n-1}\leq r^{n})

Daha sonra da:

 |x|<\frac1r iken (her n\geq2 için)  r|x|<1 ve |a_nx^{n-1}|\leq\left(r|x|\right)^{n-1}  olur, Geometrik Seriler için Yakınsaklık Teoremi ve Karşılaştırma Testinden,\sum a_nx^{n-1} mutlak yakınsak olur. Yakınsaklık yarıçapı en az \frac1r dir, dolayısıyla pozitifdir.

Soru: bu sonucu kullanarak, (B\neq0 durumunda) \sum a_nx^{n-1}  kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapının tam olarak (o çözümdeki b_1 ve  b_2 sayıları için)  \min\left\{\frac1{|b_1|},\frac1{|b_2|}\right\} olduğunu gösteriniz.

Bu çözümdeki (ve asıl soruya verdiğim cevaptaki) yöntem, ( k\in\mathbb{N} sabit olmak üzere) a_{n+k}=A_1a_{n+k-1}+\cdots+A_ka_n şeklindeki dizilere de uyarlanabilir.

(6.3k puan) tarafından 
1 beğenilme 0 beğenilmeme

a_1,a_2,A,B>0 özel durumunda daha hızlı çözüm:

(Bu durumda, dizideki tüm terimlerin pozitif olacağı aşikardır)

\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=L olsun. (Fibonnaci dizisinde bu limitin \phi (altın oran) olduğunu hatırlayın.)

Verilen eşitlikten (a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ba_n)

\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=A+B\frac{a_n}{a_{n+1}} olur. Buradan (alt dizi limit teoremi de kullanarak her iki tarafın limiti alınıp)

L=A+\frac BL yani L^2-AL-B=0 bulunur. (B>0 kabul edildiği için) Bu denklemin bir tek pozitif kökü vardır, dolayısıyla L, o pozitif köke eşit olmalıdır. Pozitif köküne b_1 diyelim.

Oran testinden, \sum a_nx^{n-1} kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı \frac1{b_1}>0 olarak bulunur.

 (SORU: Bu çözümdeki hatayı bulunuz)

(6.3k puan) tarafından 

Limit var aslinda ama var oldugunu bilmiyoruz...

Elbette.

(Hemen yazmasaydın Sercan!)

20,333 soru
21,889 cevap
73,623 yorum
3,045,404 kullanıcı