Cauchy-Schwarz ve Lagrange Çarpanı

Question

Merhabalar;

$x$ ve $y$ pozitif reel sayılardır.

$x^2+y^2 \leq 16$ ise bu koşulu sağlayan $x,y \in \mathbb{R}^+$ için,

$3x+4y$'nin alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Cauchy-Schwarz'lı çözüm;

$3x+4y=\sqrt{9x^2}+\sqrt{16y^2}\leq \sqrt{9+16}\sqrt{x^2+y^2}$

$(x^2+y^2)_{\text{max}}=16$ o zaman $3x+4y \leq \sqrt{25}\sqrt{16}$

Yani $3x+4y \leq 20$ 

Şimdi bir $k$ belirleyelim $x=3k$ ve $y=4k$ olsun $16=9k^2+16k^2$ 

$k=\dfrac{4}{5}$ çıkar yani bu eşitlik $x=12/5$ ve $y=16/5$ için sağlanır. Sorum şu lagrange çarpanı kullanırken de $x^2+y^2=16$ koşulunu kabul ederek mi hareket edeceğiz yani;

$f(x,y,k)=3x+4y+k(x^2+y^2-16)$ diyerek. Bu yasal bir hamle mi? Yoksa lagrange kesin bir eşitliğin olduğu zamanlarda mı kullanılıyor? 

Comments

Tek degiskenli bir fonksiyon dusun. Bunun aradaki kritik noktalarini bulup uc kisimlara bakmaliyiz, degil mi? Burada da aynisini yapiyoruz. Aradaki kritik noktalari bulup uc diyecegimiz fonksiyonun kesildigi yerlere bakmaliyiz, bu da esit olarak yazdigimiz...

---

Yani şu şekilde mi?

$f(3x+4y,k)=3x+4y+k(x^2+y^2-16)$ ve de buradaki soruda lagrange yapmak istesek $f(x,y,z,k)=x+5-(y+z)+k(xy+yz+xz-3)$ diyerek bir sonuca varabilir miyiz? ben $x_{\text{max}}=15$ sonucuna ulaştım ancak $x,y,z>0$ koşulunu sağlamayabileceğini düşünerek. Bu arada türev bilgim biraz az olduğu genelde ingilizce kaynaklardan çalıştığım için soruyorum uç kısım demek istediğiniz nedir? $f(x) \text{için}\\ x\rightarrow \infty$ olan kısımlar mı? Ve de kritik nokta dediğiniz de $f'(x_1)=0$ olan noktalar mıydı? (Sanırım üç derken $f'..(..)=0$ olduğu yerler demek istediniz anladım)

---

$[a,b]$ kapali araligi uzerinde turevlenebilen bir fonksiyonun maksimum, minimum degerlerini nasil bulursun?

Ilk once turevini alirsin. Artan azalanlik vs. Buradan kritik noktalari bulursun.

Daha sonra $f(a)$ ve $f(b)$ degerlerini de hesaba katatsin degil mi?

---

Evet ancak tek değişkenli fonksiyon olarak ne demeliyim hocam? $f(x)=3x$ ve $g(y)=4y$ mı bunların ekstremumlarini mi hesaplamaliyim? Ve aralık olarak ne seçmeliyim? Türevi avam derecede bildiğim için ve bazı anlam karmasalari yaşadığım için soruyorum hocam. Özür:(

---

Tek degiskenliyi ornek olarak veriyorum. Oradan cok degiskenliye gecisi daha rahat anlamak icin. 

O zaman tek degiskenlilerde maksimum/minimum bulmayi biraz calisabilirsin. 

---

$f(x,y)=x^2+y^2$ fonksiyonunun $x^2+y^2\leq1$ dairesindeki minimum değeri ile 

$x^2+y^2=1$ çemberindeki MİNİMUM değeri aynı mı?

---

İkisinin de minimum değeri $-1$ mı?

---

$x^2+y^2 =-1$ ($x,y\in\mathbb{R}$ iken) olabilir mi?

---

Haklısınız bir an kompleks sayı olabileceklerini düşündüm aynı olmaz çemberin minimum değeri $1$ dairenin de $0$ olur.

Answer 1

$K=\left\{(x,y):x^2+y^2\leq 16, x,y \in \mathbb{R}^+\right\}$ olsun $f_x(x_0,y_0)=0$ ve $f_y(x_0,y_0)=0$ koşullarını sağlayan $(x_0,y_0)$ ikilileri yoktur. Bu yüzden $x^2+y^2=16$ olduğu çok değişkenli fonksiyonu almalıyız.

$g(x,y,k)=3x+4y+k(x^2+y^2-16)$

$g_x'=3+2kx$

$g_y'=4+2ky$

$g_k'=0$

Buradan $3+2kx=0$ ve $4+2ky=0$ o zaman $\dfrac3x=\dfrac4y$

$x=3k$ ve $y=4k$ bulunur.

$9k^2+16k^2=16$ buradan $k=\pm \dfrac45$ 

$(x,y) \in \mathbb{R}^+$ olduğu için $k=+\dfrac{4}{5}$ olur.

Buradan $3 \times \dfrac{12}5+4\times \dfrac{16}5=20$ bulunur.