Gerçel Sayı Eşitsizlikleri-UMO Sorusu

Question

Merhabalar;

$x,y \in \mathbb{R}$ için $xy=1$ eşitliği sağlanıyor.

Bu koşuldaki her $x,y$ gerçel sayısı için

$((x+y)^2+4)\cdot ((x+y)^2-2) \ge A\cdot (x-y)^2$ eşitsizliği sağlanıyorsa

$A$ gerçel sayısının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

Bu soru UMO-2008 eşitsizlik sorularından.

$xy=1$ ve  Cauchy-Schwarz kullanılarak cevap $18$ bulunuyor. Ben Cauchy-Schwarz kullanmadan yaptım. Farkli çözümlerini de merak ediyorum:)

Comments

$(x-y^2)$ dedigin $(x-y)^2$ herhalde?

---

Evet hocam duzenleyeyim.

---

$x=y=1$ icin $16\ge A\cdot 0$ her $A$ gercel sayisi icin saglanir.

---

Merhaba hocam. Burada tam olarak ne demek istediniz?

---

Yani her $A$ icin saglayan bir ornek var demek istemistim de...

Galiba yukari da o esitligin her $x,y\in \mathbb R$ icin saglanmasini istiyorsun. Ok isaretin orada olmasindan pek anlamamisim o zaman herhalde.

---

Evet hocam ok işaretini için demek için kullanmıştım siz de $\forall A$ için sağlandığını göstermiş oldunuz. Galiba bu formal bir çözümün ilk hamlesi oldu.

---

Boyle bir kullanimi olmasa gerek. Bence icin yazmaktan cekinme.

Her dedigi icin bir ornek ile bir sonuca ulasamayiz. Dolayisi ile bir sonuc elde etmemis oluyoruz.

Bu soruyu tam bir cumle olarak yazmayi deneyebilir misin? Bir soruyu tam yazmak da matematiktir, onemlilerinden hatta.

---

Anladım hocam. Düzenledim biraz.

---

Ben daha da soruyu anlamiyorum mesela. Anlamamazliga yatmiyorum.

Soru su galiba: (Sorunun cozumunun senin dedigin gibi olmasi icin)

$x$ ve $y$ gercel sayilari icin $xy=1$ esitligi saglaniyor. Bu kosuldaki her $x, y \in \mathbb R$  icin $$\left((x+y)^2+4\right)\cdot\left((x+y)^2-2\right)\ge A \cdot(x-y)^2$$ esitsizligi saglaniyorsa $A$ gercel sayisinin alabilecegi en buyuk degeri bulunuz.

---

Evet tam olarak bu hocam. Ona göre duzenliyorum

---

Soruyu dediğiniz gibi yazınca o kadar çok fark ediyor ki... Bundan sonra daha çok özen göstereceğim hocam. Sağolun:)

---

Ne demek. Ara ara guzel yazilmis sorulari incelemek faydali olur. En onemlisi tam cumle yazmaktan kacinmamak gerekir. Ornegin, "=?" yerine "degerini bulunuz" denilebilir. Bu ispatlar icin de gecerli. 

---

Eşitsizlik sorularına farklı çözüm yapmak zor ya :)

---

$(x+y)^2 \geq 4xy = 4$ olduğunu biliyoruz. O halde eşitsizlikte $(x-y)^2$ yerine $(x+y)^2 - 4$ yazabiliriz.

$(x+y)^2 = m$ için $(m+4)(m-2)/m-4$  ifadesi en küçük kaç olur ? türevden veya ago dan 18 bulunur.

---

Valla ago dan yaparım herhalde:) ben de $x^2+y^2$'ye $a$ deyip ikinci derece eşitsizlikten bulmuştum.

---

Limit türev candır ya, olimpiyatta çok fazla işe yarıyorlar, hatta bazı sorularda türev zorunlu. İntegral e hiç rastlamadım :)

---

Sevindim, integral olmasın:) Limit, türevden her ne kadar kaçsam da... :)

Answer 1

$x^2+y^2=a$ olsun,

$(a+6)a \ge A(a-2)$

$a^2+6a-Aa-2A\ge 0$

$a^2+(6-A)a-2A \ge 0$ 

Şimdi bu ifadeyi bir parabol gibi düşünürsek bu parabolün $x-ekseninin$ üstünde olduğu dolayısıyla 

$\Delta \leq 0$ olduğu sonucuna ulaşabiliriz.

O zaman;

$(6-A)^2-8A \leq 0$ ve

$2 \leq A \leq 18$ olduğu bulunur.

Buradan $A_{max}=18$ bulunur.

Comments

Peki $18$ neden en buyuk? Belki o aralikta baska bir deger en buyuk.

---

$x^2+y^2=6$ eşitsizliği sağlar. Eşitsizliğin sağlandığını gostermem gerekiyordu. Sağolun hocam:)