Question

$\sum_{n=1}^{100} (1+1^{2}).(2+2^{2})...(n+n^{2})$ toplaminin 11 ile bölümünden kalan nedir ?

Comments

Öncelikle, $n\geq 10$ için her terim $11$'e bölündüğü gerçeğini görmek lâzım. Çünkü içerilerinde $10(10+1)=10\cdot 11$ sayısı olacaktır. Bu yüzden, toplamın $n=9$' kadarlık kısmını incelemek yeterlidir.

---

Aynen  öyle olack

Answer 1

Bu ifadeyi $n=1$ için açarsak $2$ sonucunun geldiğini görürüz eğer $n=2$ için açarsak $2\cdot 3$ olduğunu görürüz, uzun lafın kısası herhangi bir $(n^2+n)=n(n+1)$ şeklinde açılır dolayısıyla elimizdeki ifade $$\sum_{n=1}^{100}\left(\prod_{k=1}^{n}k(k+1)\right)=\sum_{n=1}^{100}(n!)^2(n+1)=n!(n+1)!$$ olarak elde edilir. Bu da $$1\cdot2!+2!\cdot3!+3!\cdot4!+4!\cdot5!+5!\cdot6!+6!\cdot7!+7!\cdot8!+8!\cdot9!+9!\cdot10!+\cdots\equiv ? \pmod{11}$$ sorusunu sordurur bize. Ki $\cdots$ ile belirttiğim kısım $11$ çarpanını içereceğinden $11$ modunda $0$'a denk olur. Geri kalanını wilson teoremi kullanarak yapalım $$\\10!\equiv -1 \pmod{11}\\9!\equiv 1 \pmod{11}\\8!\equiv 5\pmod{11}\\7!\equiv 2 \pmod{11}\\6!\equiv 5 \pmod{11}\\5!\equiv -1\pmod{11}\\4!\equiv 2\pmod{11}\\3!\equiv -5\pmod{11}\\2!\equiv 2\pmod{11}$$ Buradaki ara adımlardan $10$ ile $9$ arasında nasıl ilerlediğimi göstereyim mesela: $$\\10!\equiv -1\pmod{11}\\10\cdot9!\equiv -1\pmod{11}\Rightarrow 9!\equiv 1\pmod{11}\\$$ Geri kalanı da bu şekilde kolayca yapılabilir. Burada gerekenleri çarpıp toplarsak sonucun $\equiv 10 \pmod{11}$ olduğunu görürüz...

Comments

1.2
2.3
3.4
4.5
.
.
.
n(n+1)

----

n!(n+1)! oluyor.

---

Ben de orayı ilk fark ettiğimde çığlık attım, tam düzenlerken yetişmişsiniz, sağolun hocam:)

---

Ciglik atma sen yine de ;)

---

:)