negatif tam bir sayının üssündeki kesiri genişletirsek ne olur?

Question

Merhabalar. Acaba n negatif bir sayı ise;  $n^{1/2}$ ile $n^{2/4}$ ifadesi birbirine eşittir diyebilir miyiz? 

Eğer bu ikisi birbirine eşit iki ifade ise ilki tanımsız olduğu için ikincisi de öyle midir?

Eğer iki ifade de eşit ve tanımsız ise neden ikinci  ifadede önce karesini sonra 4.dereceden kökünü alamadım. Yardımcı olabilirseniz çok sevinirim.

 

Answer 1

Aslında direkt sayılar üzerinden bakılabilinir.Hatta bırakalım genişletmeyi, eğer parantez önceliğini değiştirirsek, reel sayılarda tanımlı olmuyor bile.(Reel sayılarda negatif içli çift kökler olamaz.)

$$(-2)^{2/4}=\left((-2)^2\right)^{1/4}=4$$  

Ama öbür yandan;

$$(-2)^{2/4}=\left(\sqrt[4]{-2}\right)^2$$  

Bu son durumdaki olay içeriye bakıp tanımsız deyip tanımsızın $^2$ kuvvetini yorumlamamıza bağlı, aslında olay temel mantıga baglı,$a$ bir pozitif sayıysa ve  $n$ tam sayıysa $\sqrt[2n]{-a}$ yazmak artniyetli olarak tanımsızlaştırmaktır, sonra $2n$'inci kuvvetini alınca $-a$ oluyor ama bu da reel sayılar aksiyomuyla uyuşmuyor çünki eğer $\sqrt[2n]{-a}$ reel sayıysa karesi nasıl negatif olabildi? 

Dolayısıyla eğer $n$ bir negatif sayı ve $s\neq0$ bir tamsayı ise ise $n^s$ sayısının reel sayılarda tanımlı olabilmesi için tek olması gerekmekte, ve ek olarak yukarıda yapılan parantez durumlarına gore soru yorumlanmalı, $n^{a/b}$ durumunu genelleştırmek yukarıdakı ornektekı gıbı $2$ sonuc verebılır, daha saglıklı olarak $(n^a)^b$  veya  $(n^b)^a$ yazılmalı (veya, eger a ve b rasyonel sayılara bolunecekse bu düşünülmeli.)


Bu son açıklamadan sonra şöyle örnekler verilebilir.

$$1=\sqrt{1}=((-1)^2)^{1/4}\neq ((-1)^1)^{1/2}=\sqrt{-1}$$

$$(-1)^{2/4}\neq(-1)^{1/8}(-1)^{1/8}(-1)^{1/4}$$

Comments

Belki daha kısa olarak; Rasyonel üslü bir üstel sayının tabanı negatif ise sadeleştirme ya da genişletme yaparken dikkatli olunmalıdır. $\sqrt[4]{(-2)^2}\neq \sqrt{-2}$ dir. Burada olduğu gibi işlem önceliğine göre sonuç farklılaşır.