Reel sayılarda tanımlı ve değerli, lineer(doğrusal) ancak ÖRTEN olan fonksiyon sayısını bulma

Question

$a,b\in R$ olsun. $f:[1,5]\rightarrow [4,10]$ olan ve $f(x)=ax+b$ biçiminde tanımlı $f$ ÖRTEN fonksiyonlarının sayısını bulmak istiyoruz. 

ÖRTEN olması istenen bu fonksiyonların tanım ve değer kümelerinin kartezyen çarpımlarının oluşturduğu dikdörtgen bölgenin köşeleri; $A(1,4),B(5,4),C(5,10),D(1,10)$ noktaları olup,istenilen koşulları sağlayan iki fonksiyonun bu $ABCD$ dikdörtgeninin köşegen doğrularını taşıyan doğrular olduğunu gördüm. Yani böyle en az iki doğru var. Bu doğru denklemlerinin (lineer fonksiyonların), iki noktası bilinen doğru denklemi yardımı ile $f_1(x)=\frac32 x+\frac52$   ve   $f_2(x)=-\frac{3}{2}x+\frac{23}{2}$  oldukları kolayca görülür. 

Diğer taraftan $4\leq f(x)\leq 10\Rightarrow  4\leq ax+b\leq 10\Rightarrow \frac{4-b}{a}\leq x \leq \frac{10-b}{a}$ den $\frac{4-b}{a}=1\Rightarrow a+b=4,$ $\frac{10-b}{a}=5\Rightarrow 5a+b=10,$ denklemleri bulunur. bu denklem çiftinden $a=\frac 32, \quad b=\frac 52$ bulunur. Bu yaklaşımla çözüm olan doğrulardan ancak $f_1$'i bulabiliyorum, acaba diğerini nasıl bulabilirim?

Diğer bir sorumda, bu özellikte olan tüm fonksiyonların sayısı kaçtır?(ben iki buldum) ve aynı tanım ve değer kümeleri için yalnızca BİREBİR olan kaç fonksiyon vardır? ve nasıl bulabiliriz?

Comments

$a$ nın negatif olma durumunu düşünürseniz diğeri de bulunur.

$4\leq f(x)\leq 10 \Rightarrow  4\leq ax+b\leq 10\wedge a<0\Rightarrow \frac{4-b}{a}\geq x \geq \frac{10-b}{a}$

---

Doğan Hocam bu özellikte fonksiyon sayısı iki mi? Neden? Bulduklarımız bire-bir ve örten. Sadece bire-bir olanlar kaç tane acaba?

---

Ilk olarak dogru sabit fonksiyon degilse hali hazirda birebirdir. 

Dikdortgen icerisine dogrular ciziyoruz. Ortenler de sadece kosegenler olabilir.

Baslangic degerinden diger iki koseye dogru cizdigimizde egimleri bunlarin egimi arasinda kalanlar bize birebir fonkiyonlari verir. (sabit olan haric).