Linear Algebra Birleşim ve kesişim sorusu

Question

Merhaba, linear algebra konusunda basit bir soru fakat bana çok soyut geldiği için danışmak istiyorum.

Soru:

A= {(2a,a) | a ∈ IR}, B= {(b,b) | b ∈ IR}. A ∪ B ve A ∩ B bulun ?

Bu soruya nasıl yaklaşmalıyım? Mesela a hem A'nın hem de B'nin elemanı ise A ve B birleşimdir demek bir kanıt oluyor mu ya da sorunun çözümü? A+B diyip bunlardan bir düzlemin(plane) veya boşluğun(space) denklemini mi oluşturmam gerekiyor?

Şimdiden çok teşekkür ederim.

Comments

$A$ ve $B$ kümelerini düzlemde çizerek başlayabilirsiniz. Yani; $A$ kümesi $y=\frac{x}{2}$ doğrusu gibi.

---

Boşluk yerine uzay diye çevirmek daha iyi olabilir space kelimesini.

Answer 1

Merhaba, Handan'ın önerisi çok yerinde. Şekil çizersen neyi bulman gerektiğini anlarsın. Ancak ben yine de bir iki söz edeyim.

Sorunda iki kümenin kesişimini bulman isteniyor. Yani hem $A$ da, hem de $B$. Bu, senin dediğin gibi "$A$ ve $B$ birleşimdir" demek değil. $a$ hem $A$'nın hem de $B$'nin elemanıysa, buradan ne çıkartabiliriz? Bir kere $a$ bir ikili. Yani $a=(x,y)$ gibi bir şey. Ama rastgele bir ikili değil. $A$'nın elemanı olduğu için birinci koordinat, ikinci koordinatın iki katı. Yani $a=(2x,x)$ gibi bir şey. Ama $x$ ne bilmiyoruz henüz. Bitmedi. $a=(2x,x)$ aynı zamanda $B$'nin elemanı. Yani birinci koordinatıyla ikinci koordinatı birbirine eşitmiş. Ama bu $2x=x$ demek. Bu da $x=0$ demek. O halde $a$ yalnızca $(0,0)$ olabilirmiş. Başka bir deyişle $$A\cap B=\{(0,0)\}$$ mış meğerse. 

Answer 2

Safak'in cevabini genisletirsek: Duzlemde paralel olmayan iki dogru tek bir noktada kesisirler. Vektor uzayi oldugundan $(0,0)$ noktasindan gecerler ve tek kesistikleri nokta da bu olur. 

Bunu yazarsak:


$n\ne m$ olmak uzere $$(x,nx)=(x,mx)$$ ise (ayni Safak'in anlattigi gibi) $$x=0$$ oldugunu elde ederiz.

Ek olarak atladigimiz bir dogru var. $\{(0,y) \: | \: y \in \mathbb R\}$ dogrusu. Bu dogru ile diger dogrularin kesisiminin de $$\{(0,0)\}$$ oldugunu hemen gosterebiliriz.