$(0,1)$ açık aralığından alınan $x,y,z$ reel sayıları için $x.(1-z)+y.(1-x)+z.(1-y)<1$ olduğunu gösteriniz.

Question

Güzel çözümlere sahip bir soruydu sanırım. 

Soru:

Kaynağını hatırlayamadığım $90$'lı yıllardan kalma bir soru.

$(0,1)$  açık aralığından alınan $x,y,z$ reel sayıları için $x.(1-z)+y.(1-x)+z.(1-y)<1$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Cebirsel çözümü merak ediyorum.O gelene kadar geometrik olarak yaklaşalım

Answer 1

Soyle bir cevap verilebilir:

$$1=[x+(1-x)]\cdot[y+(1-y)]\cdot[z+(1-z)]$$ $$> x(1-z)[y+(1-y)]+y(1-x)[z+(1-z)]+z(1-y)[x+(1-x)]$$ $$=x(1-z)+y(1-x)+z(1-y).$$

Toplamda sekiz terim vardi ve toplamlari $1$e esitti. Biz bunlardan $6$ tanesini topladik ve istedigimiz ifadeyi elde ettik. Geriye kalan iki terim de pozitif oldugundan ifademiz $1$den kucuk olmus oldu.
________________________
Bunu genellestirebiliriz aslinda: $$1=[x+(1-x)]\cdot[y+(1-y)]> x(1-y)+y(1-x)$$ oldugunu gormek daha basit. 

Ayni sekilde $x_1,x_2,\cdots, x_n\in(0,1)$ secip otelemeli bir sekilde carpma-toplama yaptigimizda yine ifadenin $1$den kucuk oldugunu gorururz.

Otelemeli dedigim: $n=4$ icin yazalim: $x,y,z,t \in (0,1)$ oldugunda $$x(1-y)+y(1-z)+z(1-t)+t(1-x)<1$$ olur. 

Bu son kisim ile ugrasmak okuyuculara egzersiz olsun. 

Comments

Sercan hocam,sonunu gene bağlamışsın.İyi bir egzersiz :-) başlayalım

Answer 2

$$0<x<1,\quad 0<y<1,\quad 0<z<1$$ olduklarından,  $x+y+z$ toplamının en küçük üst sınırı $M$ olsun.

$$x(1-z)<1-z,\quad  y(1-x)<1-x,\quad z(1-y)<1-y$$   olduklarından bunların taraf tarafa toplarsak,

 

$$x(1-z)+y(1-x)+z(1-y)<1-z+1-x+1-y$$

$$x(1-z)+y(1-x)+z(1-y)<3-(x+y+z)=3-M<1$$ olur.

Comments

$x=y=z=0.1$ icin son esitsizlik dogru olmaz.  

$x+y+z$ degerlerinin maksimum degeri yok, fakat supremum degeri $3$.

Cikartma islemi oldugundan supremum degeri degil infimum degerini almaliyiz. Infimum degeri sifir oldugundan $<3-0=3$ elde edilir.

---

Ben $M$ değerini, $x+y+z$ 'nin değişen değerleri kümesinin en küçük üst sınırı(E.K.Ü.S) anlamında almıştım. EKÜS kümeye ait olmaya bilir.

---

$M=3$ geliyor. Bu durumda $3-M=0$ olur. Alt sinir ile ilgilenmek gerekli o da $0$.

---

$0<1$ değil mi?