Bırakılan yüksekliğe göre en önce hangi cisim hedefe varıyor.

Question

$G$ noktasındaki cisim $m_1$, $B$ noktasındaki cisim ise $m_2$ ve sayısal olarak $m_1=m_2$ dir.

$G$  ve  $B$  noktalarından serbest bırakılan cisimlerden hangisi ilk olarak $H$ veya $E$ noktasına varabilir.

""$J$ noktalarında cisim zemine çarptığında enerji ve momentum kaybı olmayacaktır.""

$1$. metodu cevaba ekliyorum.Sorum başka metodlarla nasıl çözüleceğidir.

Resim için daha iyi bir çözünürlük;

Answer 1

En başta katıksız ve yorumsuz bir çözüm üretip üstünden yorumlar yapalım, üstteki şekile göre,

$G$ noktasındaki cisim $m_1$, $B$ noktasındaki cisim ise $m_2$ ve sayısal olarak $m_1=m_2$ dir.

$G$  ve  $B$  noktalarından serbest bırakılan cisimlerden hangisi ilk olarak $H$ veya $E$ noktasına varabilir.

$|GJ|$  ve  $|BC|$ ye bağlı olmaksızın  $J$ noktasında $m_1$ cisminin hızı ,$mgh=\frac{1}{2}mv_{_{j}}^2$  den dolayı ,$\boxed{\boxed{v_j=\sqrt{2gh}}}$ dır.

$C$ noktasında $m_2$ cisminin hızı ,$mgh=\frac{1}{2}mv_{_{c}}^2$  den dolayı ,$\boxed{\boxed{v_c=\sqrt{4gh}}}$ dır.

$t_1$   ,   $m_1$   cisminin   $H$ 'a varma süresi,

$t_2$   ,   $m_2$   cisminin   $E$ 'ye varma süresi olsunlar,


$|JK|=|CD|=r=j$ olduğundan


1. cismin $|JK|$ 'yı alma süresi  $t_{_{|JK|}}=\dfrac{j}{\sqrt{2gh}}$

2. cismin ise aynı mesafeyi alma süresi $t_{_{|JK|}}=\dfrac{j}{\sqrt{4gh}}$

ve yokuşları alma sürelerine sırasıyla $t_{y1}$  ve  $t_{y2}$ dersek

ve yokuşları inerken ve çıkarken ortalama hızları sırasıyla $v_j/2$  ve   $v_c/2$ olur,

O zaman, 

$\boxed{\boxed{t_1=2.t_{y1}+t_{_{|JK|}}\longrightarrow 2.\dfrac{2.q}{\sqrt{2gh}}+\dfrac{r}{\sqrt{2gh}}}}$
$\boxed{\boxed{t_2=2.t_{y2}+t_{_{|CD|}}\longrightarrow 2.\dfrac{2.p}{\sqrt{4gh}}+\dfrac{r}{\sqrt{4gh}}}}$ 

olur.

Dallandırmaya başlayalım,

$|JK|$'nın $x$ eksenine dik izdüşümü ,$|CD|$'nın $x$ eksenine dik izdüşümü'ne eşit midir?

Eşit ise karşımıza 1. yol olan kenarortay problemi çıkıyor ve onu da dallandırıcagız,

Eşit değil ve yokuşların egımlerı yanı açıları eşitse o zaman devam edelim,

 

Görüldüğü üzere , $\dfrac{h}{2h}=\dfrac{q}{q+(p-q)}=\dfrac{a}{a+(e-a)}$    olur dolayısıyla,

$e=2a$       ve       $p=2q$  eşitlikleri çıkar bu ise ,bize bu dal için gerekli yanıtı vermiş olur,

yukarıdaki 

$\boxed{\boxed{t_1=2.t_{y1}+t_{_{|JK|}}\longrightarrow 2.\dfrac{2.q}{\sqrt{2gh}}+\dfrac{r}{\sqrt{2gh}}}}$

$\boxed{\boxed{t_2=2.t_{y2}+t_{_{|CD|}}\longrightarrow 2.\dfrac{2.p}{\sqrt{4gh}}+\dfrac{r}{\sqrt{4gh}}}}$ 

Eşitliklerinden yola çıkarak,  $p=2q$  diyelim , ve $t_2-t_1$ 'i bulup negativ ve pozitivliğini inceleyelim,

$t_2-t_1=\underbrace{\dfrac{4(\sqrt2-1)q}{\sqrt{2gh}}}_{pozitiv}+\underbrace{\dfrac{(\frac{\sqrt2}{2}-1)r}{\sqrt{2gh}}}_{negativ}$

$r>>>q$  oldugundan yanı  $r$ , $q$ dan çok çok büyük olucağından ($sin(m(B))=\dfrac{h}{q}=\to 0$  oldugundan negativlik ağır basacaktır ve bunun anlamı,$1.$ durum için $t_1>t_2$  olmasıdır.

Sonuç, 2. dallanma sonucunda $m_2$ cisminin daha hızlı hedefine vardığı ispatlanır.(bu sonuç izdüşümlerin eşit degıl, açıların eşit olmasının sonucuydu , şimdi izdüşümlerini eşleyelim)



Yukarıda izdüşümlerin eşliginden çıkan çizge modellenmiştir.



$\boxed{\boxed{t_1=2.t_{y1}+t_{_{|JK|}}\longrightarrow 2.\dfrac{2.q}{\sqrt{2gh}}+\dfrac{r}{\sqrt{2gh}}}}$
$\boxed{\boxed{t_2=2.t_{y2}+t_{_{|CD|}}\longrightarrow 2.\dfrac{2.p}{\sqrt{4gh}}+\dfrac{r}{\sqrt{4gh}}}}$ 

eşitliklerinden yola çıkıp gene $t_2-t_1$ diyip işaret analizi yapalım,

$t_2-t_1=\dfrac{2\sqrt2(p-\sqrt2.q)}{\sqrt{2gh}}+\dfrac{r\left(\frac{\sqrt2}{2}-1\right)}{\sqrt{2gh}}$

$(p-\sqrt2.q)$ terimini inceleyelim,

Pisagordan,  $e^2+h^2=q^2$  olur,  kenarortaydan da $2q^2+h^2=p^2+e^2$ bulmuştuk pisagoru burada yazarsak,

$e^2+3h^2=p^2$  bulunur, $2q^2=2e^2+2h^2$ olduğundan  taraf tarafa çıkarırsak,

$p^2-2q^2=h^2-e^2$ bulunur, üçgende açı analizi yapılırsa $h>e$ olduğu kolayca görünür,

$(p-\sqrt2 q)(p+\sqrt2q)=(h-e)(h+e)$

burada $(h+e)$   ve   $(p+\sqrt2q)$ ve $(h-e)$  terimleri bariz pozitivdir, dolayısıyla $(p-\sqrt2 q)$  de pozitivmiş,

Şimdi sağdaki terimi yani "$\dfrac{r\left(\frac{\sqrt2}{2}-1\right)}{\sqrt{2gh}}$"  inceleyelim,

$r>>>2\sqrt2(p-\sqrt2.q)$ olacağından  ve  $r$ 'nin katsayısı  $\left(\frac{\sqrt2}{2}-1\right)$  negativ olduğundan $t_2-t_1<0$    yani   $t_2<t_1$  olur ve bu durumda da $m_2$ cismi ,hedefe daha önce varır.