$f(x)=\frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)}$ için $f(1)+f(2)+\cdots+f(10)$ kactir?

Question

$f: \mathbb R\setminus\{-1,-2,-3\}\to \mathbb R$ olmak uzere $$f(x)=\frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)}$$ için $f(1)+f(2)+\cdots+f(10)$ kactir?

Soruda hic fikir yurutemedim.

Comments

Bu soruyu sizin yerinize duzenledim fakat bundan sonraki sorularinizi daha ozenli sormaya calisiniz. ilginiz icin tesekkurler.

---

Fikir olarak: ifadeyi $$\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{(x+2)(x+3)}$$ olarak yazmayi deneyiniz.

---

<p> Zaman ayırıp sorumu düzenleyip çözdüğünüz için  teşekkür ederim :) daha özenli olmaya çalışacağım 
</p>

Answer 1

$\frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3} \right)$

olarak düzenleyelim. Bizim aradığımız toplam $1$'den $10$'a kadardı.

$f(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\\ f(2)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\\ \vdots \\f(9)=\frac{1}{10}-\frac{1}{11}-\frac{1}{11}+\frac{1}{12} \\f(10)=\frac{1}{11}-\frac{1}{12}-\frac{1}{12}+\frac{1}{13}$

fonksiyonlardaki ilk iki terimleri, ve son iki terimleri toplarsak zıt işaretli terimler birbirini götüreceğinden

$f(1)+f(2)+\cdots+f(10)=\frac{1}{2}-\frac{1}{12}-\frac{1}{3}+\frac{1}{13}=\frac{25}{156}$

olmalıdır.

Comments

Diger genel sonuc ile iliskilendirirsek: $$\frac{25}{156}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{12}+\frac{1}{13}=\frac{1}{6}-\frac1{12\cdot13}=\frac{1}{3!}-\frac{1}{(10+2)(10+3)}.$$

Answer 2

Daha genel olarak:

$f: \mathbb R\setminus\{-1,-2,-3,\cdots, -m\}\to \mathbb R$ olmak uzere $$f(x)=\frac{m-1}{(x+1)(x+2)(x+3)\cdots(x+m)}$$ için $$\sum_{k=1}^nf(k)$$ kactir?

Sorusuna cevap verelim. 
___________________________

Ic ifadeyi  $$\frac{m-1}{(x+1)\cdots(x+m)}=\frac{1}{(x+1)\cdots(x+(m-1))}-\frac{1}{(x+2)\cdots(x+m)}$$ olarak yazabiliriz. Bu da bize farki $1$ olan teleskopik toplam getirir (yani terimler hep sadelesir). Dolayisiyla $$\sum_{k=1}^nf(k)=\frac{1}{m!}-\frac{1}{(n+2)\cdots(n+m)}$$   olur. Hatta $$\sum_{k=1}^\infty f(k) =\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^nf(k)=\frac1{m!}$$   olur.