Cauchy sıklaştırma testi ve bu test gibi yakınsaklıkla alakalı olan testler neler?

Question

Cauchy sıklaştırma testi:

$\{a_n\}$ , $0$'a yakınsayan, pozitiv terimli ve artmayan bir dizi olsun.

Bu durumda, ancak ve ancak $\displaystyle\sum 2^na_{2^n}$  yakınsıyorsa,

$\displaystyle\sum a_n$ yakınsar.

İspat:

$A_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$ ve  $B_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n2^ka_{2^k}$ olsun

Ve $\{a_k \}$ artmayan pozitiv terimli dizi ve genel teriminin limiti elbette $0$ (yakınsak dizi tanımından).

$B_n=2a_2+4a_4+8a_8+.....+2^na_{2^n}$

$=2a_2+(2a_4+2a_4)+.......+\underbrace{(2a_{2^n}+2a_{2^n}+.....+2a_{2^n})}_{2^{n-1} \;terim}$

$\le 2a_1+2a_2+(2a_3+2a_4)+....+(2a_{(2^{n-1})}+2a_{(2^{n-1}+1)}+.....+2a_{(2^n)})$

$=2A_{2^n}\le 2\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k$

Dolayısıyla;

$\boxed{\boxed{\boxed{A_n=a_1+(a_2+a_3)+...+a_n<a_1+2a_2+...+2^na_{a^n}=a_1+B_n<a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^\infty2^ka_{(2^k)}}}}$


Soru 1: İspat başka nasıl yapılabilinir?

Soru 2: Bu test gibi kullanışlı olan "ileri" yöntemler de dahil nasıl yöntemler vardır.