$\displaystyle \int \limits^\pi_0 \frac{x.\sin x}{1+\cos^2 x}dx$ integralini hesaplayalım

Question

Bu integrali bulmak için farklı çözüm yöntemlerini tartışalım.

Sercan hocanın çözümü:

$$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x\cdot\sin x}{1+\cos^{2}x}dx$$ integrali icin $u=\pi -x$ donusumu uygularsak integralimiz $$\displaystyle \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi-u) \cdot\sin u}{1+\cos^{2}u}(-du)=-\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{u\cdot\sin u}{1+\cos^{2}u}du+\pi \displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin u}{1+\cos^{2}u}du$$ olur. Bu da bize integralimizin($I=-I+J \Rightarrow 2I=J \Rightarrow I=J/2$) $$\frac{\pi}2 \displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^{2}x}dx$$ integraline esit oldugunu verir. $t=-\cos x$ donusumunu uygularsak, integralimiz $$\frac{\pi}2 \displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+t^2}dt=\pi\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2}dt=\pi\left[arctan(t)\right]_{t=0}^{t=1}\\=\pi\left(\arctan(1)-\arctan(0)\right)=\dfrac{\pi^2}{4}$$ olur.

Benim denemem:

$(arccot\ u)'=-\frac{u'}{1+u^2}$ ve $\cos x=-\sin x$ olduğundan yukarıdaki integrali

$$\displaystyle \int \limits^\pi_0 x(arccot(\cos x))'dx$$

olarak yazabiliriz.

$$\displaystyle \int \limits^\pi_0 x(arccot(\cos x))'dx+\int \limits^\pi_0 arccot(\cos x)dx-\int \limits^\pi_0 arccot(\cos x)dx$$

şeklinde yazıp $\displaystyle \int \limits^\pi_0 arccot(\cos x)dx$ integralinde takıldım.

Comments

Merhaba ;

Öncelikle sitemize hoş geldiniz. Site hakkında bilgilenmek için umuyoruz ki "Hakkımızda"kısmını ve "Sorular" kısmındaki ilk soru olan "Sitenin kuralları nelerdir, sorularımı nasıl sormalıyım" kısımlarını okumuşsunuzdur. Eğer okumadıysanız lütfen okuyunuz. Eğer okuduysanız o zaman sorunuzun neresinde takıldığınızı, çözmek için neler düşündüğünüzü bizlerle paylaşmanız gerekmektedir. Sizlere, ancak bunu yaparsanız daha iyi ve hızlı yardımcı olabiliyoruz. Bu olmadığı takdirde muhtemelen sorunuza çözüm alamayacaksınızdır.  Katkılarınız için teşekkürler.

---

Çözümlerden birini yazıyorum. Sanırım neler yaptığımı da eklemiş olacağım o zaman :) Sende de çözüm varsa ekleyelim zenginleştirelim.