$n\geq 5$ için $S_n$ Neden Çözülebilir değildir ?

Question

Link'teki tanımlara ek olarak bir tanım daha ekleyelim .

Tanım 1 : $G$  bir grup $N<G$ olsun.Her $g\in G$ için $Ng=gN$ ise $N'ye$  $G'nin$ normal altgrubu denir

Tanım 2 :Bir $G$ grubunun öz olan hiç normal alt grubu yoksa  $G'ye$ basit grup denir.

Alıştırma 1 : $S_3$ çözülebilirdir?

Alıştırma 2 : $S_4$ çözülebilirdir?

$S_4$ için kabaca kanıtlayacak olursak ;

$S_4$ ün içinde normal olan alterne grubu var $A_4$ , $A_4$ içinde normal olan bir grup var vs.

$S_4 \unrhd A_4 \unrhd \{ id,(12)(34),(13)(24),(14)(23) \} \unrhd \{ id \}$

Dolayısıyla Basit gruplar dışında bir grup daha bulduk.$S_4$ çözülebilirdir.

$S_n$  , $n \geq 5$ için çözülebilir değildir ? 

Kanıt olarak göstereceğimiz şey şu olmalı :

$S_5 \unrhd A_5 \unrhd \{ id \}$

Yani $S_n$ için $n \geq 5$ basit grup dışında hiç normal alt grubu olmadığından çözülebilir değil. 

burada sorulmuş

Burada da sorulmuş

$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$  Bu denklemin çözülemeyecek oldugunu Galois kanıtlıyor yukardaki çözülemezlik ile ilişkili olarak. 

Kanıt yarım yamalak oldu ama Alıştırma 1'in çözümü  ve $S_n$  , $n \geq 5$ için çözülebilir değildir ?  ilgili kanıtları toplayalım .