Leibniz integrali için, limiti içeri alma problemi.

Question

İlk olarak şu eşitliği göstermek istiyoruz;

$$\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f(x,y)\;dy\right)=\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f_x(x,y)\;dy$$

Dolayısıyla ,türevin limit tanımını kullanalım;

$$\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f(x,y)\;dy\right)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f(x+h,y)dy-\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f(x,y)dy}{h}$$

$$=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}(f(x+h,y)-f(x,y))dy}{h}$$

$$=\lim\limits_{h\to0}\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}dy$$

Ama olay burada patlak veriyor, limiti öylece içeri alabilir miyiz?

$$=\lim\limits_{h\to0}\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}dy=\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}\left(\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\right)dy$$

İçeri alabilirsek zaten istediğimiz sonucu buluyoruz ama neden ve nasıl?

$$=\displaystyle\int_{y_0}^{y_1}f_x(x,y)dy$$

Bu limiti içeri nasıl dağıtırım?

Genelleştirmek gerekirse, aşağıdaki durum için gereklilikleri veriniz.

$\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(\lim\limits_{x\to a} x)$

Comments

f'in sürekli olması.

---

sanki $f_x$ sürekli olması gerekiyor sanırım karşı örnek $|x|$ fonksiyonu olabilir, sürekli ama türevli değil (her aralıkta)

---

Ben en sondaki önermeyi cevapladım ama üstteki içinde aynısı geçerli. Sezgisel olarak şöyle diyeyim. f çok çok az değiştiğinde integral f de çok çok az değişir.