$\frac{1}{10^4}<(\frac{1}{5})^n$ eşitsizliğini sağlayan en büyük n doğal sayısı kaçtır?

Question

$\frac{1}{10^4}$ işlemini $(\frac{1}{10})^4$ şeklinde yazdım ve $(\frac{1}{5})^n $ ifadesini de $2$ ile genişletip paydaları eşitledim ve n 5 olarak buldum ama sanki yaptığım şeyde bi yanlışlık var gibi geldi çünki payları eşit olmayan ifadeleri eşit gibi kabul ettim 

Comments

$5^n<10^4=10000$ icin en buyuk $n$ dogal sayisi isteniyor.

Answer 1

$\dfrac{1}{10^4}=10^{-4}<\left(\dfrac15\right)^n=\left(\dfrac2{10}\right)^n=2^n.10^{-n}$  düzenlersek;


$10^{n-4}<2^n$

Deneyelim;

$n=4$ için sağlanır

$n=5$ için sağlanır

$n=6$ için sağlanmaz ,  $10^{2}\not<2^6$

Cevap $5$

Comments

Belki $7$ icin ya da daha buyuk sayilar icin yine esitsizlik saglaniyor?

---

Saglanmaz cunku pay 2 buyurken payda 10 buyuyor. Pay surekli 10'a bolunuyor. 5ten sonra 0,64 olmaya basliyor ve surekli 0, olarak devam ediyor sonsuza kadar. 0,.. bir sayi 1'den her zaman kucuk oldugu icin cevap 5. Ben soruyu yanlis anlamisim o sacma yorumu o yuzden yazdim 

---

aynen gereklı acıklama yapılmış @Nantu tarafından.