Uydu yörüngesi neye bağlı?

Question

Düzgün kütlesel dağılımlı ve kütle yoğunluğu $r$ olan küre şekilli bir gezegenin ekvatorunun hemen dışında dolanan bir uydusu olsun.Uydunun  $T$  periyodunun gezegenin yoğunluğuna bağlı olduğunu gösteriniz.$T$'yi veren bir denklem bulunuz.


2 noktasal cismin birbirini cekme kuvveti (kütlesel(gravitasyonal))

$F=G\dfrac{m_1m_2}{d^2}$ 


$G$  sabit,

$m_1,m_2$  cisimlerin kütleleri

$d$ kütlelerin aralarındaki mesafe

$F$ gravite kuvveti






Bu son resimde ise, dünyanın bir uyduyu nasıl gravite etkisine aldığı gösterilmeye çalışılmış, 2boyutlu bükülmeden daha çok tüm yönlerde bir bükülme söz konusu tabii.

Comments

Neden mi elips? 

---

heh cagan o soruyu sor da cevaplayalım/cevaplasın isteyen :) 

Answer 1

Kütle çekim kuvveti merkezkaç kuvvetine eşit olursa o zaman uydu yörüngede kalabilir . o zaman $F_{kütleçekim}=F_{merkezkaç}$ denkliğini yazabiliriz . 

Bu durumda :

$(1)$   $F_k=G\dfrac{m_1M}{d^{2}}$

$(2)$    $F_m=m\;\omega^2\;d$ 

1. ve 2. denklemlerin eşitliğini kullanarak $\omega$ ile ilgili bir eşitlik çıkartırız o da :

$\omega^2=\frac{G.M}{d^3}$ olarak buluruz . ...

$\omega^2=\frac{4.\pi^2}{T^2}$ ise iki ifadeyi eşitleyip gerekli sadeleştirmeleri yaparsak :

$T^2=\frac{4\pi^2.d^3}{GM}$ 

$T=2\pi.\sqrt\frac{d^3}{G.M}$  olarak buluruz . Bir kaç denklem önce de ayrıyetten Kepler'in $\frac{Rˆ3}{Tˆ2}$ sabitinide gösterebiliriz .  Buradan hareketle yoğunluğa bağlı olduğunu gösterelim .

$\rho=\frac{M}{V}$ dersek ve $V=\frac{4}{3}\pi.R^3$ olarak düşünürsek ve Periyot denkleminde $M$ yerine 

$\rho.V = \rho.\frac{4}{3}\pi.R^3$ 

yazarsak denklemin son hali 

$T=2\pi.\sqrt\frac{d^3}{G\rho\frac{4}{3}\pi R^3}$ 

olarak yazabiliriz .

(Uydu $\omega$ açısal hızı ile dolanmakta ve Merkezdeki cisim düzgün küresel olarak kabul edilmiştir. Merkezdeki cismin yarıçapı R ve uydu merkez arası uzaklık d olarak belirtilmiştir.) $K=\frac{4}{3}\pi . G$ olarak sabitleri birleştirirsek. En sade hal olarak 

$\boxed{\boxed{T=2\pi\sqrt{\dfrac{d^3}{K.\rho.R^3}}=2\pi \;d\;\sqrt{\dfrac{d}{K\rho R^3}}}}$ sadeleştirebiliriz .  

Eksik veya hatalı kısımlar varsa lütfen elesirin .