Açık Problem arşivi oluşturalım

Question

Bir Arşiv oluşturalım böylelikle üzerinde konuşacağımız sorularımız olur.

1.Paul Erdös - Ernst Straus varsayımı ;

Her pozitif $n \geq 2$ tamsayısı için $x, y , z$ pozitif tamsayıları varmıdır ki ;

$\frac{4}{n}=\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ eşitliği sağlansın ?

2.

$\gamma , \pi - e , \pi + e , \pi e , \pi ^e , \pi^{\sqrt2} , \pi^{\pi} , 2^e  ,e^e, \zeta(3)$ cebirsel mi transandart mı ?

3.

   Eğer $2^x$  ve  $3^x$ tamsayı ise $x$ tamsayı olmak zorunda mı ?

 

 

Şimdilik bu kadar çevirdiklerimi ve bildikleri yazacağım sizden de bekliyorum ,

Comments

http://matkafasi.com/87345/sayilardir-transandantal-olmadiklarini-ispatlayabilir?show=87345#q87345

---

Bu da alakalı.

---

3. soruyu anlamadim.

$x=\log_23\notin \mathbb{Z}$ alalim. O zaman $2^{\log_23}=3 \in \mathbb{Z}$ olur..

---

Buarada 2. soruya $\zeta(3)$ de eklenebilir..

Answer 1

Sitede yer alan şu sorulara bakalım:

Şafak Özden'in sorduğu bu sorunun cevabı şu: Eğer $m$ ve $n$ sayıları aralarında asal ise, öyle bir $F$ sayısı vardır ki her $k > F$ için $mx + ny = k$ olacak şekilde $x, y$ doğal sayıları bulunabilir. Yani "bir noktadan sonra" her doğal sayıyı $mx + ny$ şeklinde yazabiliriz ($x$ ve $y$ doğal sayı olmak üzere). Eğer $m$ ve $n$ aralarında asal değilse bunun olmayacağı bariz. Çünkü yazabileceğimiz her sayının $EBOB(m, n)$ ile bölünmesi lazım. Ama şunu söyleyebiliriz: yine öyle bir $F$ sayısı vardır ki, $F$'den sonra gelen $EBOB(m,n)$'nin her katını $mx + ny$ şeklinde yazabiliriz.

Sercan bu soruyu üç ve beş için sormuş. Yusuf Ünlü de böyle cevaplamış ama dikkat edecek olursak Yusuf Hoca soruyu biraz değiştirmiş ve $x$ ve $y$'yi tam sayı almış. Bizim istediğimiz doğal sayılar.

Sercan'ın sorusunda ağırlıklar kullanılmış. Problemin diğer versiyonlarında Chicken McNugget kullanılıyor. Ben para kullanmak istiyorum. Elinizde 3 liralık ve 5 liralık banknotlar var. Hangi ücretleri para üstü almadan ödeyebilirsiniz. $1, 2, 4, 6, 7$ ödenemez. Ama $7$'den sonra gelen her ücreti gönül rahatlığıyla para üstüne gerek kalmadan ödeyebilirsiniz. Bunun nedenini Sercan'ın sorusunun altına yazacağım.

Şafak Özden'in sorusunda $m$ ve $n$'yi aralarında asal seçersek bir noktadan sonra her ücreti para üstü almadan ödeyebileceğimizi söylemiştik. Bunu daha da genelleştirmek mümkün. Eğer $ekok(m_1, \ldots, m_j) = 1$ ise, bir noktadan sonra her ücreti para üstü almadan ödeyebileceğimizi göstermek zor değil. Zor değil ama ben o sorunun altına yorum olarak "sanırım açık bir soru" yazmışım. Kastettiğim bu değildi. Açık olan soruyu açıklayayım:

"Bir noktadan sonra" söz öbeğindeki "nokta" nedir? 

Bundan sonra hep aralarında asallık koşulunu kabul edeceğiz.

Şunu biliyoruz: Öyle bir $F$ sayısı vardır ki bu $F$ sayısını $mx + ny$ şeklinde yazamayız ama $F$'den sonra gelen her sayıyı böyle yazabiliriz. Bu $F$ nedir? $m$ ve $n$ cinsinden değerini bulabilir miyiz? Cevap veriyorum: Evet. $F = mn - (m+n)$'dir. Yani Sercan'ın sorusu için $F = 15-8 = 7$'dir. 

Durum iki sayı için böyle. Peki üç sayı için? Yine biliyoruz ki öyle bir $F$ sayısı vardır ki bu $F$ sayısını $m_1x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3$ şeklinde yazamayız ama $F$'den sonra gelen her sayıyı böyle yazabiliriz. Peki bu $F$ için bir formül var mı? Şu an bilmiyoruz. Bu soru açık.

Not: $F$, Frobenius'un $F$'si. Frobenius sayısı diye geçiyor bazı kaynaklarda. Şafak Özden'in sorusu en azından 19. yüzyıldan beri bilinen bir soru ve Frobenius da iki sayı için bu formülü bulup genelleştirememiş. O zamandan beri birçok kişi üç sayı ile üretilen nümerik yarıgrupların Frobenius sayısını bulmakla uğraşmış. Ama henüz bir formül yok.

Not2: Bu problemin birçok kişiyi çekmesinin sebeplerinden biri bir gıcır (smooth) karmaşık (kompleks) cebirsel eğrinin üzerinde yer alan "Weierstrass noktaları"nı anlamak.