$\lim\inf$'i ölçülemeyen bir fonksiyonun varlığını gösteriniz

Question

Aşağıdaki şartları sağlayan bir  $f:\mathbb{R}^2\to \{0,1\}$ fonkisyonunun varlığını gösteriniz;

(a) $\int f(x,t)dx=1 \hspace{0.4cm} \forall t\neq0$

(b) $\lim\inf_{t\to 0} f(x,t)$ ölçülemez(non-measurable).

Öncelikle karakteristik fonksiyonları denedim ama tabi ki başarısız oldum,eğer $\mathbb{R}^2$'de bir ölçülemez kümem olsa oradan oluşturma ihtimalim var ama  bunun da başarılı olacağından emin değilim.Her türlü öneriye açığım.

Comments

1. $\liminf_{t\to0}f(x,t)$ şu fonksiyon mu?

$F(x)=\inf\{f(x,t):t\in\mathbb{R}\}$ 

Eger bu ise (hedef küme $\{0,1\}$ olduğundan)

$F(x)$ daha basit  yazılabilir. 

Ya da başka bir fonksiyon mu?

2. Hedef küme $[0,1]$ olabilir mi?

3. Her durumda, sen,in ($\mathbb{R}^2$ de değil) $\mathbb{R}$ de ölçülemiyen bir küme bilmen gerekiyor.

---

$\liminf_{t\to 0} f(x,t)$'yi $f(x,t_n)$'nin minimum limiti olarak tanımlayabiliriz sanırım öyle ki $t_n\to 0$.Bu arada böyle bir küme inşa etmek de çok kolay olmasa gerek.