$7!$ sayısı $3$ tabanında yazılırsa kaç basamaklı bir sayı elde edilir ?

Question

$7!=1.2.3.4.5.6.7$

$7!=1.2^4.3^2.5.7$

üç tabanında yazmaya çalıştım

$2^4=16=(3^3-11)$

$3^2$ üç tabanıda 

$5=(3^2-4)$

$7=(3^2-2)$

$(3^3-11).(3^2-4).(3^2-2)$

üsleri toplayınca 7 basamak ama cevap 8 neyi yanlış yaptım

 

Comments

Bu konu kalktı diye biliyorum?

Answer 1

Ilk olarak $10$ tabanini dusunelim: $n\ge 1$ olmak uzere $$10^{n-1} \le a <10^n$$ arasindaki $a$ dogal sayilari $n$ basamaklidir. 

Birkac $n$ icin orneklendirirsek: $$10^0\le a <10^1$$ sayilari bir basamakli $$10\le a <10^2$$ sayilari iki basamakli $$10^2\le a <10^3$$ arasindaki sayilar ise uc basamaklidir.

Bu tum tabanlarda gecerlidir: tabanimiz $b$ olsun ve $a_i\in\{0,\cdots,b-1\}$ olsun. Bu durumda  $$a_0+a_1b+a_2b^2+\cdots+a_{n-1}b^{n-1}$$ sayisi $b$ tabaninda $n$ basamakli olur.

Burumda sorun suna donuyor: $$3^{n-1}\le 7! <3^n$$ sartini saglayan $n$ dogal sayisi kactir. 

Elimizde: $7!=5040$ ve
$3^0=1$
$3^1=3$
$3^2=9$
$3^3=27$
$3^4=81$
$3^5=241$
$3^6=729$
$3^7=2187$
$3^8=6561$ var.

Bu da bize  $$3^7 \le 7! <3^8$$ oldugunu soyler.

Comments

teşekkürler hocam :) 3 tabanında yazmaya gerek yokmuş ama ikiside bana göre aynı yöntem ve uğraştırıcı :) çok sağolun

---

Senin yonteminle bulamayabilirsin. Bu ugrastirici degil. Ben direk $81\times 81$'e bakardir. Tek adimda gol. Hatta bakmazdim da $81\times 27 <3000$ ve $81\times 81>6400$ oldugu cok acik.

---

direk doksana çakıyorsunuz hocam :D ezmeyiniz beni lütfen :D tecrübe farkı aramızda çok var