$35=3$ veya ortada bir yanlışlık var

Question

Ha bu soru ile ilgili :)

$\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {f\left( x\right) -3} {x^{2}-4}=8$ olduğuna göre,

$\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {f\left( x\right) +3x -9} {x-2}=?$

Linkteki çözümümü bir daha buraya atıp laf kalabalığı yapmama gerek var mı bilmiyorum, $35$ ve $3$ çıkan iki farklı çözüm var. Benim asıl merak ettiğim bu işin daha bilimsel tarifi. Epsilon delta tanımı ile hangisinin doğru olduğunu, veya ikisinin de yanlış olduğunu nasıl ispatlayabiliriz?

Comments

Cevabi ilgili soruda paylastim. Nasil $3$ buldugunu bilmiyorum.

---

Şöyle $3$ bulmuş: İlk limitte payda $0$ olduğundan payın da $0$ olması gerektiğine hükmedip $f(2)=3$ demiş. Ardından ikinci limitte de yerine koyunca doğrudan $\frac{3x-6}{2x-3}=3$ bulmuş. Ama hata nerede anlayamadım tam. "Ha bu" soruyu da bu yüzden sordum :)

---

Payda 0 ise pay da 0'dir demek matematik katliami olur yalniz. Bir kere sayi bolu 0 sonsuzdur. Fakat sonsuz belirsizliginden kurtulmak icin bir suru yol var. Her ne olursa olsun, payda 0 ise pay 0 dir demek cok yanlis.

---

Katliam olmaz. Fakat cunku ispatlanabiliyor. Paydanin limiti sifira gidiyorsa ve limit varsa pay da sifira gider. Onemli olan bu bilgiyi daha basit bir yerde kullanmamak.

---

$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L,\ (L\in\mathbb{R})$ ve $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0$ olsun.

$$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\cdot g(x)\right)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\cdot \lim_{x\to a}g(x)=L\cdot 0=0$$

(Ama, $f(a)=0$ olduğunu elbette söyleyemeyiz)

Aslında, daha da genel olarak $\frac{f(x)}{g(x)},\ a$ yakınlarında sınırlı ise de  (Sıkıştırma Teoremi veya $\varepsilon-\delta$ ile)

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0$ olur.

---

Hocam peki $f$ fonksiyonu ($\delta \in \mathbb {R}^+$ olacak şekilde) $[a-\delta,a+\delta]$  aralığında sürekli olsaydı, bu sefer $f(a)=0$ olur muydu?

---

Elbette. Sadece $a$ noktasında sürekli olsa bile $f(a)=0$ olurdu.

Answer 1

Sonucu 3 bulanların düştüğü hata şurada:

Bir fonksiyonun limitini hesaplarken, o fonksiyondaki değişkenlerden bazılarının yerine limitini yazarak bulacağımız değer artık geçerli değildir.  Böyle bir şeyi yapabileceğimizi söyleyen bir limit teoremi yok. 

Örnek: $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}x$$ limitinde $\lim_{x\to0}\sin x=0$ olduğunu kullanmayı ($\sin$ olmayınca işimizin kolaylaşacağını)  düşünüp $\sin x$ yerine, limiti olan 0 ı yazarsak) elbette ki

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}x=\lim_{x\to0}\frac{0-x}x=-1$$   yanlış sonucuna varıyoruz.

Çünki $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}x=\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}x-1\right)=1-1=0$$