Senin soruya tam olarak cevap vermiyor ama, sana verilen herhangi bir $x\in\mathbb{Z}^n$ elemanının $x\in\mathbb{Z}^n/H$ içinde burkulup burkulmadığını test etmek için bir algoritma var.
Elinde $x\in\mathbb{Z}^n$ olsun. $H$'in üreteçleri (birbirlerinden $\mathbb{Z}$ üzerinden bağımsız olmaları lazım) ve $x$'ten bir matris yapıp $\mathbb{Z}$ üzerinden Gram-Schmidt uygularsan pivotları kolonların EBOB'larından oluşan bir matris elde edersin. Sonuçtaki matrisin rankı düştüyse $x$ burkulur.
Aslında düşündüm de sanırım aradığın şey $H$'in üreteçlerinin $\mathbb{Q}$ üzerinde gerdiği vektör uzayının içindeki bütün $\mathbb{Z}$ kafesleri (lattice). Yani yukarıdaki Gram-Schmidt $\mathbb{Q}$ üzerinden de yapılabilir.