ve $p\in\mathbb{R}$
için sayı doğrusunu düşünelim 0 ve 1 arasında
$\underbrace{\star}_0\underbrace{---------}_{1-p}\underbrace{--------------------}_p\underbrace{\star}_1$
$p=p(1-p)+p^2$
$\underbrace{\star}_0\underbrace{---------}_{1-p}\underbrace{----------}_{p(1-p)}\underbrace{----------}_{p^2}\underbrace{\star}_1$
$p^2=p^2(1-p)+p^3$
$\underbrace{\star}_0\underbrace{---------}_{1-p}\underbrace{------}_{p(1-p)}\underbrace{----}_{p^2(1-p)}\underbrace{----------}_{p^3}\underbrace{\star}_1$
$p^3=p^3(1-p)+p^4$
$\underbrace{\star}_0\underbrace{---------}_{1-p}\underbrace{------}_{p(1-p)}\underbrace{----}_{p^2(1-p)}\underbrace{------}_{p^3(1-p)}\underbrace{----}_{p^4}\underbrace{\star}_1$
$\cdots$
böyle böyle devam edersek karşımıza şöyle bir denklem çıkar;
$(1-p)+p(1-p)+p^2(1-p)+p^3(1-p)+.......=1$
hertarafı $(1-p)$ ye bölersek ispatlanır.
$1+p+p^2+p^3+p^4+p^5+......=\frac{1}{1-p}$ $\Box$