Question

$\left( \sqrt {7+4\sqrt {3}}\right) ^{x}$ + $\left( \sqrt {7-4\sqrt {3}}\right) ^{x}$=14 ise x in alabilecegi degerler toplami kactir?

Answer 1

$\sqrt{7+4\sqrt{3}}^2+\sqrt{7-4\sqrt{3}}^2=7+4\sqrt{3}+7-4\sqrt 3=14$ olur.

$\sqrt{7+4\sqrt{3}}^{-2}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}^{-2}=\frac{1}{7+4\sqrt 3}+\frac{1}{7-4\sqrt 3}=7+4\sqrt 3+7-4\sqrt 3=14$. Demek ki $x$ değerleri toplamı sıfırdır.

Comments

Baska olmadigini nasil anliyoruz hocam?

---

Hocam ben aşağıdaki gibi düşünerek başka bulamadım.

$a=\sqrt{7+4\sqrt3},\quad b=\sqrt{7-4\sqrt3}$ olsun.  İstenilen $a^x+b^x=14$ denkleminin çözümlerinin toplamı. 

$a^x.b^x=1$ olduğu kullanılırsa $a^x+\frac{1}{a^x}=14\Rightarrow a^{2x}-14.a^x+1=0 $ denkleminin kökleri $a^x=\frac{14\pm\sqrt{192}}{2}=7\pm4\sqrt{3}$ olur.

 Buradan da $ a^x=7+4\sqrt 3$ için $ b^x=7-4\sqrt 3$ ve $ a^x=7-4\sqrt 3$ için $ b^x=7+4\sqrt 3$ olacaktır.

$(7+4\sqrt 3)^{\frac x2}=7+4\sqrt3 \Rightarrow x=2$  ve benzer olarak,

$(7+4\sqrt 3)^{\frac x2}=7-4\sqrt3 \Rightarrow x=-2$ olur.

Sizin daha başka bir yaklaşımınız varsa görmekten memnun olacağım.

---

Yazmistim cevap olarak hocam. Fakat ben sadece yukaridaki cevaptan cikaramadim, goremedigim bir sey mi var diye sormak istedim. 

Answer 2

Eger $a=(\sqrt{7+4\sqrt{3}})^x$ dersek $$a+\frac1a=14 \text{ ve dolayisiyla } a^2-14a+1=0$$ olur. Bu durumda $$a=7\pm4\sqrt{3}$$ olur. Yan $x=\pm2$ olur.