Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
918 kez görüntülendi

Q'nun sayılabilir ve R'nin sayılamaz olduğunu ispatlayınız. 

Lisans Matematik kategorisinde (32 puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 918 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bunlar ödev soruları mı? Siz neler denediniz bizle paylaşın, biz de yardım edebiliriz. Ayrıca soruda neden "fonksiyonel analiz" etiketi vardı bilemiyorum ama madem öyle soruyu da bu alanda sık kullanılan Baire kategori teoremi ile çözelim!

Her $x \in \mathbb{R}$ için $\mathbb{R}-\{x\}$ kümesi açık ve yoğun bir kümedir. $\mathbb{R}$ tam bir metrik uzay olduğuna Baire kategori teoremi gereği sayılabilir açık yoğun kümenin kesişimi yoğundur.

Eğer $\mathbb{R}$ sayılabilir bir küme olsaydı $\bigcap_{x \in \mathbb{R}} \mathbb{R}-\{x\}$ kümesinin $\mathbb{R}$ içerisinde yoğun olması gerekirdi ancak bu küme boştur.

(Sitede bir yerlerde gerçel sayıların sayılamazlığının "standart" kanıtının da olduğuna eminim.)

Rasyonel sayıların sayılabilirliği içinse rasyonel sayılardan $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ kümesine birebir bir fonksiyon inşa etmeyi deneyin.

(1.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,200 soru
21,728 cevap
73,277 yorum
1,888,006 kullanıcı