$\sin(2x)$ ifadesini yarım açı formülü ile $n$ kere açalım.
$$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$$
$$\sin(2x)=4\sin\Big(\frac{x}{2}\Big)\cos\Big(\frac{x}{2}\Big)\cos(x)$$
$$\sin(2x)=8\sin\Big(\frac{x}{4}\Big)\cos\Big(\frac{x}{4}\Big)\cos\Big(\frac{x}{2}\Big)\cos(x)$$
$$\large.\\.\\.$$$$\sin(2x)=2^n\sin\bigg(\frac{x}{2^{n-1}}\bigg)\prod_{k=1}^{n}\:\cos\bigg(\frac{x}{2^{k-1}}\bigg)$$
$\lim\limits_{n\to\infty}$ durumuna bakalım.
$$\sin(2x)=2x\prod_{k=1}^\infty\:\cos\bigg(\frac{x}{2^{k-1}}\bigg)$$
Gerekli sadeleştirmeleri yaparsak sonuca ulaşabiliriz.Benzer bir soru için buraya bakılabilir.
$$\large\color{#A00000}{\boxed{\prod_{k=1}^\infty\:\sec\bigg(\frac{x}{2^{k-1}}\bigg)=2x\csc(2x)}}$$