Bir aşırı soğuk fermiyon gazı ne zaman süperakışkandır?

Question

Başı:BCS fonksiyoneli nerden çıktı?

Makaleye asıl şimdi başlıyoruz:)

Soru 1: $V$ potensiyalinin yokluğunda $\mathcal{F}_\beta$'nın $\mathcal{D}$ üzerindeki  indirgecinin $\alpha=0$ ve $\gamma(p)=\gamma_0(p):=(e^{\beta(\frac{p^{2}}{2m}-\mu)}+1)^{-1}$ -bunu normal durum diye adlandırıyoruz- gösterebilirmisiniz?

Ek soru: Normal durumun ($(\gamma,0)\leftrightarrow \eta$) Fermi-Dirac dağılımına uyduğunu -i'inci özdurumun sayı işlemcisinin beklenti değeri $\langle n_i\rangle=\langle N_i\rangle=\text{iz}(\eta N_i)\overset{!}{=}\frac{1}{1+e^{\beta(\frac{p_i^2}{2m}-\mu)}}$- gösterebilirmisiniz?

Soru 2: $T=0$'da model sadece $\alpha$'ya bağlı fonksiyonel olarak yazılabilir. O halde neden en iyi seçimin belli bir $\hat{\alpha}(p)$ için $\gamma(p)= \begin{cases} \frac{1}{2} &\mbox{eğer } \frac{p^{2}}{2m}<\mu \\ (3n +1)/2 & \mbox{eğer } \frac{p^{2}}{2m}>\mu. \end{cases}$ olduğunu açıklayabilirmisiniz ?

BCS kuramının yorumuna göre eğer enerji seviyesi alçaltılabiliryorsa yani eğer $\mathcal{F}_\beta$'nin değeri bir $\alpha\neq 0$ seçilerek azaltılabiliyorsa normal durum kararsızdır ve bu da sistemin süperakışkan bir durumda olduğuna işaret eder. Makalenin ana sonucu olan sıradaki teoremde bunun, uygun bir doğrusal işlemcinin negatif bir özdeğerinin olmasıyla eşdeğer olduğu gösteriliyor:
Teorem: $V\in L^{3/2}(\mathcal{R}^{3})$, $\mu\in\mathcal{R}$ ve $\infty>T=\frac{1}{\beta}\geq 0$. O zaman şu önermeler eşdeğerdir:
(i) Normal durum çift oluşumu halinde kararsızdır yani $\text{inf}_{(\gamma,\alpha)\in\mathcal{D}}\mathcal{F}_\beta (\gamma,\alpha)<\mathcal{F}_\beta(\gamma_0,0)$.
(ii) $\exists(\gamma,\alpha)\in\mathcal{D}: \alpha\neq 0 \wedge \triangle(p)=-\frac{\frac{p^{2}}{2m}-\mu}{\gamma(p)-\frac{1}{2}}\hat{\alpha}(p)$ BCS aralık denklemini geçerli kılar: $\triangle=-\hat{V}*\left(\frac{\triangle}{E}tanh\frac{\beta E}{2}\right)$, burada $E(p)=\sqrt{(\frac{p^{2}}{2m}-\mu)^{2}+\vert\triangle (p)\vert^{2}}$ ve $*$ bürünmedir.
(iii) $K_{\beta,\mu}=(\frac{p^{2}}{2m}-\mu)\frac{e^{\beta(\frac{p^{2}}{2m}}-\mu)+1}{e^{\beta(\frac{p^{2}}{2m}}-\mu)-1}$ olmak üzere $K_{\beta,\mu}+V$ doğrusal işlemcisinin en az bir negatif özdeğeri vardır.

Soru 3: Bunu kanıtlayabilirmisiniz?