Question

Periyodik fonksiyon nedir?

Answer 1

Tanım: $A$ gerçel sayılar kümesinin  $x\in A$ ise $-x\in A$ koşulunu sağlayan alttan ve üstten sınırsız bir altkümesi ve $f:A\to\mathbb{R}$ fonksiyon olmak üzere

$$f, \text{ periyodik}:\Leftrightarrow (\exists T\in\mathbb{R}\setminus \{0\})(\forall x\in A)(f(x+T)=f(x))$$

Bu $T$ sayılarının pozitif olanlarının (varsa) en küçüğüne de $f$ fonksiyonunun periyodu denir.

Comments

Neden $-x$ de elemani olmali? Bazen periodik olmasina ragmen saglayan en kucugu olmayabilir, bu nedenle en kucugu varsa periodu denir denmesi daha iyi gibi. Bir de period ile esas period tanimi nedir? Yani (varsa) en kucugune esas period, ve herhangi birine period demiyor muyuz?

http://matkafasi.com/72263/periodik-olan-ama-esas-periodu-olmayan-bir-fonkisyon

---

Tanımı revize ettim. Şimdi daha iyi oldu sanırım.

---

Peki neden $x \in A$ ise $-x$ de $A$ da olmali? Boyle bir sartin tanimda olma sebebini anlamadim.

---

$T$ negatif olduğunda $x+T$'nin $-x$'e eşit olması söz konusu.

---

$x \in A$ oldugunda $x+T \in A$ olmasi neyse de, $-x$ elemani $\{x+kT \: | \: k \in \mathbb N\}$ ya da  $\{x+kT \: | \: k \in \mathbb Z\}$ kumesinin elemani olabilir de olmayabilir de.

Cok aklima yatmadi isin acikcasi. Tanim icin bi referans kaynak var mi bu arada?

$\sqrt 2$ periodlu bir fonksiyon icin pek de gerek yok gibi.

---

Soruyu sormamdaki amaç da buydu. Referans yok. En sağlıklı tanım bu olur diye düşünüyorum. Senin önerin nedir?

---

bu perıyodık fonksıyon tam bir illet yahu, ne bır kaynak var ne bir şey. -x konusunda sercan hocayla hem fikirim aklım alamıyor.

---

Matematik Dünyası dergisinde 106. Sayının (2018 yılı) Asallar, Spiraller ve Polinomlar başlığındaki yazısında Periyodik Polinomlar aşağıdaki şekilde tanımlanmış:

P(t) tamsayı katsayılı bir polinom olsun. Her x tamsayısı için P(x+k) = P(x) eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı bir k > 0 tam sayısı var ise P(x) polinomuna periyodik polinom, en küçük k tam sayısına ise P(x) polinomunun periyodu denir.

Answer 2

 $f$  bir fonksiyon olsun. Eğer  $f$',in  tanım kümesinin  her $x$ elemanı için, $f(x)=f(x+T)$ olacak şekilde bir  $T$  pozitif sayısı  varsa bu $f$ fonksiyonuna periyodik fonksiyon denir. $f(x)=f(x+T)$  koşulunu sağlayan en küçük  pozitif $T$  sayıya da fonksiyonun periyodu denir.

Örnegin $f(x)=Sinx, f(x)=Cosx$   fonksiyonlarının periyodu $T=2\pi$ dir

$f(x)=Tanx, f(x)=Cotanx$ fonksiyonlarının periyodu $T=\pi$  dir.

$k$ bir skaler olmak üzere $f(x),  kf(x),   k\pm f(x),    \frac{f(x)}{k}$ in periyotları aynıdır.

$f$ in periyodu $T$ ise $f(kx)$ inki $\frac{T}{|k|}$ dır.

$f_1$in periyodu $T_1$, $f_2$ nin periyodu $T_2$ ise $f_1\pm f_2$ nin periyodu $OKEK(T_1,T_2)$ dır.

Comments

Cevaba ilişkin iki sorum olacak:

$1)$ $\mathbb{R}$'de tanımlı olması şart mı? Yani tanım kümesi illaki $\mathbb{R}$'mi olmalı? Başka bir küme olamz mı?

$2)$ Fonksiyonun sürekli olması şart mı? Süreksiz olamaz mı?

---

İlk soru için kesin bir şey söyleyemem ama ikincisi için sürekli olması şart değil diyebilirim.

---

Örneğin vermiş olduğunuz örnekler arasında $$f(x)=\tan x$$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu $\mathbb{R}$'de tanımlı değil. Yine $$g(x)=e^{\lfloor \sin x \rfloor}$$ kuralı ile verilen $g$ fonksiyonu $\mathbb{R}$'de tanımlı ama sürekli değil. Bu durumda tanımı revize etmemiz gerekmez mi?

---

Evet gerekir.

---

Öneriniz nedir?

---

reel sayılarda tanımlı ve sürekli olması lazım

---

Periyodik fonksiyonlardan bahsedeceksek fonksiyonun tanım kümesi illa ki $\mathbb{R}$ mi olması gerekir?

---

Sayın @Mehmet hocam ve sayın @Murad hocam bu soruyu soracaktım ama tam olarak cevaplandırmamışsınız, tanımı revize ederek cevapta paylaşabilir miyiz? internette aradım vikipedi ve diğerlerinde adam gibi bir şey bulamadım.saygılar sevgiler

---

Tanım: $A$ gerçel sayılar kümesinin  $x\in A$ ise $-x\in A$ koşulunu sağlayan alttan ve üstten sınırsız bir altkümesi ve $f:A\to\mathbb{R}$ fonksiyon olmak üzere

$$f, \text{ periyodik}:\Leftrightarrow (\exists T\in\mathbb{R}\setminus \{0\})(\forall x\in A)(f(x+T)=f(x))$$

Bu $T$ sayılarının pozitif olanlarının (varsa) en küçüğüne de $f$ fonksiyonunun periyodu denir.