Bir cisim üzerindeki karşılıklı değişmeli doğrusal bağımsız matrislerin azami sayısı kaçtır?

Question

Tanım: Bir $x\in\mathbb{Z}$ için  tamdeğer $\lfloor x\rfloor:=\text{mak}\{m\in\mathbb{Z}\vert m\leq x\}$ olarak tanımlanır.

Tanım: $m,n,\mathbb{N}$, $M(m\times n,C)$ hücreleri $C$ cisminin elemanı olan $(m\times n)$ matrislerinin kümesi olsun. $A\in M(n\times n,C)$'nın eğer bir tersi yoksa $A$'ya tekil matris denir (aksi takdirde tekil olmayan).

Sav: Her bir $A\in M(m\times n,C)$ matrisini $C^{n}$ ve $C^{m}$'nin  standart tabanları $\mathfrak{C}_n$ ve $\mathfrak{C}_m$'yi seçtiğimiz anda $(M_{\mathfrak{C}_m}^{\mathfrak{C}_n})^{-1}$ eşdönüşümü yardımıyla biricik bir doğrusal gönderme $F_A$ ile ilişkilendirebiliriz: $(M_{\mathfrak{C}_m}^{\mathfrak{C}_n})^{-1}:M(m\times n,C)\rightarrow \text{Hom}_C(C^{n},C^{m}),A\mapsto (F_A:C^{n}\rightarrow C^{m},x\mapsto Ax)$
Kanıt: Doğrusal cebir$\square$

Tanım: Bir matris $A\in M(m\times n,C)$ çekirdeği $\text{çek}(A)$ eşleştirildiği doğrusal göndermenin çekirdeği $\text{çek}(F_A):=F_A(\{0\})$ olarak tanımlanır.  Matrisin mertebesi ise $\text{mer}(A):=\text{dim}_C(F_A(C^{n}))$'dir.

Sav (Schur normal şekli): $V$ $n$ boyutlu bir $C$-vektör uzayı, $F:V\rightarrow V$ doğrusal olsun. Karakteristik polinom $p_F=(\lambda_1-x)...(\lambda_n-x)$ şeklinde ise, $V$'nin $M_{\mathfrak{L}}^{\mathfrak{L}}(F)=\begin{pmatrix} \lambda_1 *...*\\0 .\  .\ \ \ : \\:\ \ \ \ \ \  :\\ \ \ \ . \ \ \   \  *\\ \ 0...0\ \ \lambda_n \end{pmatrix}$ -$\lambda_1,...\lambda_n$ özdeğerler- (Schur normal) şeklinde gösterimi vardır.
Kanıt: Doğrusal cebir$\square$

Tanım: $A,B\in M(n\times n,C)$ için $[A,B]:=AB-BA=0$ geçerliyse bunlara değişen matris denir.

Tanım: $A,B\in M(n\times n,C)$, $\alpha A+\beta B=0$ herhangi $\alpha ,\beta\in C$ için sade ve sadece $\alpha=\beta=0$ olduğunda geçerli ise bu matrislere doğrusal bağımsız denir.
 
Teorem (Schur): Bir $C$ cismi üzerindeki karşılıklı değişmeli doğrusal bağımsız n derecesinden matrislerin azami sayısı $\lfloor n^{2}/4\rfloor+1$'dir.
İpucu (Mirzakhani): $\mathbb{C}$, $C$ üzerindeki $n\times n$ matrislerinin değişme özelliğine sahip bir ailesi olsun. $C$'nin cebirsel olarak kapalı olduğunu varsayabiliriz(neden?) ve bundan gözleri $C$'nin elemanı tekil olmayan ve $V:=P^{-1}\mathcal{F}P$'yi bir üst üçgen şekilli matris ailesi yapan bir $P$ matrisinin var olduğu çıkar (yine neden?). $V$'nin doğrusal bağımsız "vektörleri" $A_i$'lerin biçimini inceleyin. Burada bu matrislerin uygun bir alt matrislerini $M_i$'ler olarak seçin. Bunlarda bir vektör uzayı $W$ oluşturur -sorunsuz doğrusal bağımsız olduklarını varsayabiliriz(neden?)- ve $k:=\text{dim}(W)$ olsun. O zaman $\exists n_{i1},...,n_{ik}\in C: M_i=\displaystyle\sum_{j=1}^{k}n_{ij}N_j$'dır. $i>k$ için öyle bir $B_i$ tanımlayın ki  $t_i$ $n\times 1$ matrisleri için $B_i=\begin{pmatrix} t_i\\0\end{pmatrix}$ olsun. Benzer şekilde $B'_i=\begin{pmatrix} t'_i,0\end{pmatrix}\in V$, $s$ uygun bir sayıdan küçük için $t'_i$ $n\times 1$ matrislerini bulalım. Belirli $i,j$ için $t_it'_j=0$ olduğunu gösterelim.

$A$, $i$'inci satırı $t_i$ olmak üzere bir $(\lfloor n^{2}/4\rfloor -k+2)\times n$ matrisi olsun. O halde $A$'nın mertebesi $(\lfloor n^{2}/4\rfloor -k+2)$'ye büyük eşittir (neden?). Aynı zamanda uygun bir $j$ için $At'_j=0$ geçerlidir. Sonuca ulaşmak için şimdi doğrusal cebirden bilinen $\text{mer}(A)+\text{çek}(A)=n$ eşitliğini kullanın.

Comments

Rica: İpucunda saçmalamadıysam, lütfen düzeltebilirmisiniz?

---

ilk defa anladim :) dun konusuyoruz, biri geldi muhabbet arasina, dedim bolum nedir, dedi fizik. Dedim cok matematik bilmeye gerek var mi? Dedi yok. Dedim Hilbert uzaylari vs kullaniliyor galiba, ikinci kuantum vs. Dedi evet, bi ara gormustum Hilbert'i. Bu da boyle bir anim.