Thomas Fermi teorisi-2

Question

Thomas Fermi teorisi'ne devam edelim. Soru aşağıdaki teoremleri bir şekilde ispatlamak.

Teorem: $\epsilon_{TF}:I\rightarrow \mathbb{R}$'nın biricik bir $\rho_{küç}\in I$ küçültücüsü vardır.

Teorem (türevsel olmayan biçimde Thomas Fermi denklemi): Eğer bir $\rho\in I$; $\phi_{TF}(x):=V(x)-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\rho(x)\ast \frac{1}{|x|} ,V(x):=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\sum_{k=1}^{K} \frac{eZ_k}{|x-R_k|}$ için $\gamma_{TF}\rho^{2/3}=\phi_{TF}$ Thomas Fermi denklemini geçerli kılıyorsa $\Rightarrow$ $\epsilon_{TF}(\rho)=\text{inf}_{\tilde{\rho}\in I}\epsilon_{TF}(\tilde{\rho})$'dır.

Teorem (Feynman-Hellmann): $\frac{\partial}{\partial Z_k}E_{TF}(Z_1,...,Z_K)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\int \frac{e\rho(x)}{|x-R_k|}+\displaystyle\sum_{m=0,m\neq k}^K \frac{Z_m}{|R_m-R_k|}\right)$

Teorem (Teller): Önceden incelediğimiz $\epsilon_{N,\underline{Z}}^{TF}$'nin taban enerjisi (buna Thomas Fermi enerjisi de denmektedir) $E_{TF}(Z_1,...,Z_K):=\text{inf}_{\rho\in I}\int\frac{3}{5}\gamma_{TF}\rho^{5/3}-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\sum_{k=1}^K \frac{eZ_k}{|x-R_k}\rho(x)dx+D[\rho]+R(\rho)$ ve $1<k<K$ için $E_{TF}(Z_1,...,Z_K)\geq E_{TF}(Z_1,...,Z_k)+E_{TF}(Z_{k+1},...,Z_K)\geq E_{TF}(Z_1)+...+E_{TF}(Z_K)$

Ek soru: Bu teorem fiziksel olarak nasıl yorumlanabilir?

Soru 6: Herhangi bir atomun/molekülün (örn. neon atomu için) herhangi bir enerjisini yani $\epsilon_{N,\underline{Z}}^{TF}$ fonksiyonalini; aynı atomun/molekülün sadece bir elektron sahip olduğu durumun taban enerjisine yani $E_{TF}(1)$'e bağlı hesaplayabileceğiniz bir formül bulabilirmisiniz?