İntegralimiz :
∫ln2(1−z)zdz
ln(1−z)=u olacak şekilde değişken değiştirelim. ve biraz sadeleştirelim.
−∫u2e−u−1du
−u=ω olacak şekilde tekrar değişken değiştirelim.
∫ω2eω−1dω
1eω−1 ifadesini sonsuz toplam ile yazalım.
∫∞∑n=1e−nωω2dω
Sonsuz toplam düzgün yakınsak olduğundan integral ile yerlerini değiştirelim.
∞∑n=1∫e−nωω2dω
nω=Ω olacak şekilde değişken değiştirelim
∞∑n=11n3∫eΩΩ2dΩ
İntegralin içindeki kısmı , tamamlanmamış gama fonksiyonunun kısmi türevi olarak yazabiliriz.
∞∑n=11n3∫eΩΩ2⏟−∂∂ΩΓ(3,Ω)dΩ
İntegrali artık çözebiliriz.
−∞∑n=11n3Γ(3,Ω)
Şimdi en baştan beri değiştirdiğimiz değişkenleri yerine yazalım.
∫ln2(1−z)zdz=−∞∑n=1Γ(3,−nln(1−z))n3
Umarım bir yanlış yoktur.