Devamlı kesir teoremlerini kanıtlayın.

Question

Bir $a_0$ tam sayısı ve $a_1, a_2,...$ pozitif tamsayı dizisi ile tanımlanmış

$x:=[a_0;a_1,a_2,...]:=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{...}}}$ devamlı kesri için aşağıdaki teoremleri kanıtlayınız:

1. Teorem:     $p_n:=a_n p_{n-1}+p_{n-2}$,         $p_{-1}=1$ ve $p_{-2}=0$,

                       $q_n:=a_nq_{n-1}+q_{n-2}$,         $q_{-1}=0$ ve $q_{-2}=1$

ise, $\forall n\in\mathbb{N}$ için

$\frac{p_n}{q_n}$ devamlı kesrin $n.$ yakınsamasıdır, yani $\frac{p_n}{q_n}=[a_0;a_1,a_2,...,a_n]$ .

2. Teorem: $\forall n\in\mathbb{N}:$  $\frac{1}{p_n(p_{n+1}+p_n)}<|x-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{p_n p_{n+1}}$.

Comments

Soruda devamlı kesir bir noktada sonlanmıyor değil mi? Yani rasyonel bir sayı değil. 

Eğer rasyonel sayı ise $[a_0,a_1,...,a_n]$ devamlı kesrinin $i-$yinci yakınsaması $i=3,4,..,n$ için;

$p_i=a_ip_{i-1}+p_{i-2}$,

$q_i=a_iq_{i-1}+q_{i-2}$ ve $p_1=a_1$, $p_2=a_2a_1+1$, $q_1=1$ ve $q_2=a_2$ denklemlerini sağlar." sorusuna denk midir?

---

Hayır sonlanmıyor ama sonsuz olanı sonlu devamlı kesir $[a_0;a_1,a_2,...,a_n]$ üzerinden de tanımlanabilir: $[a_0;a_1,a2,...]:=\text{lim}_{n\rightarrow \infty}[a_0;a_1,a_2,...,a_n]$

$p_i$ ve $q_i$  uymadığı için bence bu haliyle değil (soruda $p_{-2}=0,p_{-1}=1,p_{0}=a_0,p_1=a_1+1,p_2=a_2 a_1+a_2+a_0$ ve $q_{-2}=1,q_{-1}=0,q_0=1,q_1=a_1,q_2=a_2a_1+1$), aslında uysa bile önermelerin (sorudakiyle yorumdakinin) yönleri birbirine ters ve bu denkliğin var olup olmadığı ayrı bir soru olur:)

---

Tamamdır. Aslında ben rasyonel sayı ise $[a_1,a_2,...,a_n]$ yazacağım yerde $a_0$ dan başlamışım. Denkliği de "Continued fractions (C.D. Olds)" kitabında okudum. Ama asıl soru $\pi$, $e$ yada  $e^{x}$ gibi devamlı kesirler için ispat.