Elimde böyle bir fonksiyon var : f(x)=∑an=0sin((2n+1)x)2n+1 a değeri artmaya başladığında fonksiyon 2π periyotlu kare dalgaya benziyor.Şimdi benim bulmak istediğim a değeri sonsuza giderken , fonksiyonun [0,π] aralığındaki x ekseni ile arasında kalan bölgenin alanı.Aşağıda fonksiyonun birkaç a değeri için grafiği ve alanları var. a=2 http://imgur.com/AzwfDF6 a=5 http://imgur.com/feSafwe a=100 http://imgur.com/CkEysRk Denklem : I=∫π0∑∞n=0sin((2n+1)x)2n+1dx I=∑∞n=012n+1∫π0sin((2n+1)x)dx u=(2n+1)x I=∑∞n=01(2n+1)2∫π(2n+1)0sin(u)du I=∑∞n=01(2n+1)2[−cos((2n+1)x)]π0 I=∑∞n=01−cos((2n+1)π)(2n+1)2 I=∑∞n=01(2n+1)2−∑∞n=0cos((2n+1)π)(2n+1)2 A=∑∞n=01(2n+1)2 A=(11)2+(13)2+(15)2+(17)2+... A+(12)2+(14)2+...=(11)2+(12)2+(13)2+(14)2+... A+(12)2((11)2+(12)2+(13)2+...)=∑∞n=11n2 A+14∑∞n=11n2=∑∞n=11n2 A=34∑∞n=11n2=34ζ(2)=π28 I=π28−∑∞n=0cos((2n+1)π)(2n+1)2 Buraya kadar gelebildim.Sondaki kosinüslü sonsuz toplamı nasıl bulabilirim?Teşekkürler.
Kendi soruma kendim cevap vereyim.Basit bir işlemmiş ama görememişim :)
cos((2n+1)π)=cos(2nπ+π)=−cos(2nπ)−cos(2nπ)=−1∑∞n=0cos((2n+1)π)(2n+1)2=−∑∞n=01(2n+1)2=−π28
Cevap :
I=π28−(−π28)=π24