Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
630 kez görüntülendi
Merhabalar

Elimde böyle bir fonksiyon var :

f(x)=an=0sin((2n+1)x)2n+1

a değeri artmaya başladığında fonksiyon 2π periyotlu kare dalgaya benziyor.Şimdi benim bulmak istediğim a değeri sonsuza giderken , fonksiyonun [0,π] aralığındaki x ekseni ile arasında kalan bölgenin alanı.Aşağıda fonksiyonun birkaç a değeri için grafiği ve alanları var.

a=2
http://imgur.com/AzwfDF6

a=5
http://imgur.com/feSafwe

a=100
http://imgur.com/CkEysRk

Denklem :

I=π0n=0sin((2n+1)x)2n+1dx

I=n=012n+1π0sin((2n+1)x)dx

u=(2n+1)x

I=n=01(2n+1)2π(2n+1)0sin(u)du

I=n=01(2n+1)2[cos((2n+1)x)]π0

I=n=01cos((2n+1)π)(2n+1)2

I=n=01(2n+1)2n=0cos((2n+1)π)(2n+1)2

A=n=01(2n+1)2

A=(11)2+(13)2+(15)2+(17)2+...

A+(12)2+(14)2+...=(11)2+(12)2+(13)2+(14)2+...

A+(12)2((11)2+(12)2+(13)2+...)=n=11n2

A+14n=11n2=n=11n2

A=34n=11n2=34ζ(2)=π28

I=π28n=0cos((2n+1)π)(2n+1)2

Buraya kadar gelebildim.Sondaki kosinüslü sonsuz toplamı nasıl bulabilirim?Teşekkürler.

Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından  | 630 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Kendi soruma kendim cevap vereyim.Basit bir işlemmiş ama görememişim :)

cos((2n+1)π)=cos(2nπ+π)=cos(2nπ)

cos(2nπ)=1

n=0cos((2n+1)π)(2n+1)2=n=01(2n+1)2=π28

Cevap :

I=π28(π28)=π24

(1.1k puan) tarafından 
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,860,847 kullanıcı