$\sin\sqrt{ax-x^2}=0$ denkleminin gerçel kökleri toplamı 100 ise $a$ yı bulunuz.

Question

($a$ bir gerçel sayı olmak üzere) $\sin\sqrt{ax-x^2}=0$ denkleminin gerçel köklerinin toplamı $100$ olduğu bilindiğine göre $a$ sayısını bulunuz.
(Gürcistan da, bir Matematik sınavında (belki Olimpiyat seçmeleri) sorulmuş)

Comments

$\sin k\pi=0$ olduğundan $ax-x^2=(k\pi)^2$ denkleminden kökler toplamı $x_1+x_2=a$  ve $\Delta\ge0$ olacağından $a^2-4k^2\pi^2\ge 0$   yazılabiliyor.

$\sqrt{ax-x^2}=k\pi\ge 0$ olduğundan $k\in\mathbb Z^+\cup\{0\}$ olmalı.

O zaman $a\ge 2k\pi$ veya $\dfrac{a}{2\pi}\ge k\ge 0$ olur. Yani $k_{maks}=\lfloor\dfrac{a}{2\pi}\rfloor$ buluruz ama kökler toplamının $100$ olmasını kullanamadım.

---

Çözüme az bir şey kalmış.

Her bir $k$ için kökler toplamı ($ax-x^2-k^2\pi^2=0$ dan) $a$ dır. Öyleyse tüm köklerin toplamı $(k_{maks}+1)a=\left(\left\lfloor \frac a{2\pi}\right\rfloor+1\right) a=100$.
Gerisi kolay.

---

Tamam hocam; $100$ 'ün $(1,100),(50,2),(25,4)$ şeklindeki çarpanlarına bakacağız. Denediğim zaman $a=25$ bulunuyor.

Answer 1

$\sin k\pi=0$ olduğundan $ax-x^2=(k\pi)^2$ denkleminden kökler toplamı $x_1+x_2=a$  ve $\Delta\ge0$ olacağından $a^2-4k^2\pi^2\ge 0$   yazılabiliyor.

$\sqrt{ax-x^2}=k\pi\ge 0$ olduğundan $k\in\mathbb Z^+\cup\{0\}$ olmalı.

O zaman $a\ge 2k\pi$ veya $\dfrac{a}{2\pi}\ge k\ge 0$ olur. Yani $k_{maks}=\lfloor\dfrac{a}{2\pi}\rfloor$ buluruz.

Her bir $k$ için kökler toplamı ($ax-x^2-k^2\pi^2=0$ dan) $a$ dır.

Öyleyse tüm köklerin toplamı $(k_{maks}+1)a=\left(\left\lfloor \frac a{2\pi}\right\rfloor+1\right) a=100$.

$100$ 'ün $(1,100),(50,2),(25,4)$ şeklindeki çarpanlarına bakacağız. Denendiği zaman kolayca $a=25$ bulunuyor.

Comments

Küçük bir sorun var: $a$ tamsayı olmak zorunda değil. Biraz daha analiz gerekiyor.

---

$a(k+1)=100\ge (k+1)2k\pi$ olduğundan $k=0,1,2,3$ olabilir.

$a(k+1)=100$ ve $k=\lfloor a/2\pi\rfloor$ birlikte düşünülürse $k=3$ olmalı.